গাণিতিক অভিধান
শব্দকোষ
70টি পরিভাষার সংজ্ঞা — বাংলা ও ইংরেজিতে, প্রতীকসহ। যেকোনো অধ্যায় পড়ার সময় কোনো শব্দ অপরিচিত মনে হলে এখানে দেখো।
A
1টি শব্দB
3টি শব্দ- ব্যাকপ্রপাগেশনBackpropagation
- চেইন নিয়মে পেছন দিক থেকে গ্রেডিয়েন্ট হিসাব — নিউরাল নেট প্রশিক্ষণের মূল কৌশল।
- ভিত্তি (বেসিস)Basis
- রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর-সেট যা পুরো স্পেস স্প্যান করে।
- ব্যাচ নর্মালাইজেশনBatch normalization
- প্রতিটি স্তরের ইনপুটকে গড় ০ ও ভেদ ১-এ স্কেল — প্রশিক্ষণকে স্থিতিশীল করে।
C
9টি শব্দ- চেইন নিয়মChain rule
- যৌগিক ফাংশনের অন্তরজ: (f∘g)' = f'(g)·g'। নিউরাল নেট-এ ব্যাকপ্রপের মূল।
- চলেস্কি বিযোজনCholesky
- ধনাত্মক-নির্দিষ্ট প্রতিসম ম্যাট্রিক্সে A = LLᵀ — দ্রুত ও সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল।
- কলাম-স্থান
C(A)Column space - A-এর কলামগুলোর স্প্যান — A-এর সম্ভাব্য আউটপুট সব।
- অভিসারণConvergence
- পুনরাবৃত্তিতে মান একটি নির্দিষ্ট সীমার কাছে চলে আসা।
- অবতল ফাংশনConvex function
- যে ফাংশনের যেকোনো দুই বিন্দুর মধ্যকার জ্যা গ্রাফের উপরে — একটিই স্থানীয় মিনিমাম।
- কোভ্যারিয়েন্স
Cov(X,Y)Covariance - দুটি চলকের একসাথে ওঠানামার পরিমাপ।
- কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স
ΣCovariance matrix - বহু-চলক তথ্যে সব জোড়ার কোভ্যারিয়েন্সের ম্যাট্রিক্স; প্রতিসম ও ধনাত্মক-আধা-নির্দিষ্ট।
- ক্রস প্রোডাক্ট
𝐮×𝐯Cross product - ℝ³-এ এমন একটি ভেক্টর যা উভয় ইনপুটের লম্ব; দৈর্ঘ্য সমান্তরাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল।
D
6টি শব্দ- অন্তরজ (ডেরিভেটিভ)
df/dxDerivative - ফাংশনের তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার — ট্যানজেন্ট রেখার ঢাল।
- নির্ণায়ক (ডিটারমিন্যান্ট)
det(A), |A|Determinant - ম্যাট্রিক্সের আয়তন-স্কেলিং ফ্যাক্টর; শূন্য মানে রূপান্তরটি একটি মাত্রা ভেঙে দেয়।
- কর্ণ ম্যাট্রিক্সDiagonal matrix
- শুধু মুখ্য কর্ণে অশূন্য মান। গণনা অনেক সহজ — প্রতিটি অক্ষ স্বাধীনভাবে স্কেল।
- কর্ণীয়করণ
A = PDP⁻¹Diagonalization - ম্যাট্রিক্সকে আইগেনবেসিসে কর্ণে রূপান্তর — Aⁿ গণনা সহজ হয়।
- মাত্রাDimension
- যেকোনো ভিত্তির ভেক্টর সংখ্যা — স্পেসের একক চারিত্র্য।
- ডট প্রোডাক্ট (অন্তর গুণ)
𝐮·𝐯Dot product - দুই ভেক্টরের সাদৃশ্য পরিমাপক স্কেলার: ∑ uᵢvᵢ = ‖u‖‖v‖cosθ।
E
4টি শব্দ- আইগেনভ্যালু
λEigenvalue - এমন স্কেলার যার জন্য Av = λv হয় — A যে দিকটিকে শুধু টেনে লম্বা/ছোট করে।
- প্রত্যাশা
E[X]Expectation - এলোমেলো চলকের গড় বা ভারসাম্যবিন্দু।
F
2টি শব্দ- ক্ষেত্র (ফিল্ড)
𝔽Field - এমন একটি সেট যেখানে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ (০ ছাড়া) সংজ্ঞায়িত। যেমন ℝ ও ℂ।
G
3টি শব্দ- গাউসিয়ান বণ্টন
𝒩(μ,σ²)Gaussian distribution - ঘণ্টা-আকৃতির বণ্টন; গড় μ, ভেদ σ²।
- গ্রেডিয়েন্ট অবরোহGradient descent
- θ ← θ − η∇L — গ্রেডিয়েন্টের বিপরীত দিকে ছোট পদক্ষেপে নিম্নতম খোঁজা।
H
1টি শব্দI
2টি শব্দ- অভেদ ম্যাট্রিক্স
IIdentity matrix - মুখ্য কর্ণে ১, বাকি সব ০ — গুণে কিছু বদলায় না: AI = A।
- বিপরীত ম্যাট্রিক্স
A⁻¹Inverse - যে ম্যাট্রিক্সকে A দিয়ে গুণ করলে I পাওয়া যায়। শুধু det(A) ≠ ০ হলে বিদ্যমান।
J
1টি শব্দL
6টি শব্দ- শিক্ষার হার
ηLearning rate - প্রতিটি ধাপের আকার — খুব বড় হলে অস্থির, খুব ছোট হলে ধীর।
- রৈখিক সংমিশ্রণ
Σ aᵢvᵢLinear combination - ভেক্টরগুলোকে স্কেলার দিয়ে গুণ করে যোগ — c₁v₁ + c₂v₂ + …।
- রৈখিক স্বাধীনতাLinear independence
- কোনো ভেক্টর অন্যদের সংমিশ্রণে লেখা যায় না — c₁v₁+…+cₙvₙ = 0 ⇒ সব cᵢ = 0।
- রৈখিক রিগ্রেশনLinear regression
- y ≈ Xw — নর্মাল ইকুয়েশন বা গ্রেডিয়েন্টে w সমাধান।
- ক্ষতি ফাংশন
L(θ)Loss function - মডেলের ভুল মাপার ফাংশন — অপ্টিমাইজার যা কমাতে চায়।
- LU বিযোজনLU decomposition
- A = LU — নিম্ন-ত্রিভুজ × ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজ; রৈখিক সিস্টেম সমাধানে দ্রুত।
M
1টি শব্দ- ম্যাট্রিক্স
A ∈ ℝ^{m×n}Matrix - সংখ্যার আয়তাকার সারণি; একটি রৈখিক রূপান্তর হিসেবেও পড়া যায়।
N
2টি শব্দ- শূন্য-স্থান (কর্নেল)
N(A)Null space (kernel) - Ax = 0 সমাধানগুলোর সেট — A যেসব ভেক্টরকে শূন্যে পাঠায়।
O
4টি শব্দ- ওয়ান-হট এনকোডিংOne-hot encoding
- শ্রেণিকে এমন ভেক্টরে রূপান্তর যেখানে একটি স্থান ১, বাকি সব ০।
- লম্বমান (অর্থোগোনাল)Orthogonal
- দুই ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট শূন্য — তারা ৯০° কোণে।
- অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স
QᵀQ = IOrthogonal matrix - কলামগুলো অর্থোনরমাল; দৈর্ঘ্য ও কোণ সংরক্ষণ করে — ঘূর্ণন/প্রতিফলন।
- অর্থোনরমালOrthonormal
- পরস্পর লম্ব এবং প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১ — যেমন আদর্শ অক্ষ ভেক্টর।
P
3টি শব্দ- আংশিক অন্তরজ
∂f/∂xPartial derivative - বহু-চলক ফাংশনে একটি চলকের সাপেক্ষে অন্তরজ, বাকিগুলো ধ্রুব রেখে।
- প্রধান উপাদান বিশ্লেষণPCA
- তথ্যের সর্বোচ্চ ভেদের দিকগুলো খুঁজে বের করা — কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর।
- অভিক্ষেপ (প্রজেকশন)
proj_u(v)Projection - এক ভেক্টরের অপরটির দিকের ছায়া — proj_u(v) = (u·v / u·u) u।
Q
1টি শব্দ- QR বিযোজনQR decomposition
- A = QR — অর্থোগোনাল Q ও ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজ R; লিস্ট-স্কোয়ারে কাজে লাগে।
R
4টি শব্দ- এলোমেলো চলক
XRandom variable - এমন চলক যার মান সম্ভাব্যতার নিয়মে নির্ধারিত হয়।
- র্যাঙ্কRank
- ম্যাট্রিক্সের রৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম (বা সারি) সংখ্যা।
- নিয়মিতকরণRegularization
- অতিরিক্ত শাস্তি যোগ করে ওভারফিটিং রোধ; L1/L2 সাধারণ।
- সারি-স্থানRow space
- A-এর সারিগুলোর স্প্যান। dim(সারি-স্থান) = dim(কলাম-স্থান) = rank।
S
9টি শব্দ- এককমান
σᵢSingular value - SVD-তে Σ-এর কর্ণ মান; AᵀA-এর আইগেনভ্যালুগুলোর বর্গমূল।
- সফটম্যাক্সSoftmax
- ভেক্টরকে সম্ভাবনায় রূপান্তর: softmax(z)ᵢ = e^{zᵢ}/Σe^{zⱼ}।
- স্প্যানSpan
- কিছু ভেক্টরের সব সম্ভাব্য রৈখিক সংমিশ্রণের সেট।
- স্পেক্ট্রাল উপপাদ্যSpectral theorem
- প্রতিসম ম্যাট্রিক্স সর্বদা অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স দিয়ে কর্ণীয় করা যায়: A = QΛQᵀ।
- উপস্থান (সাবস্পেস)Subspace
- ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেট যা নিজেও ভেক্টর স্পেস — মূলবিন্দু ধারণ করে, যোগ ও স্কেলার-গুণে বন্ধ।
- এককবিন্দু বিযোজন (SVD)
A = UΣVᵀSVD - যেকোনো ম্যাট্রিক্সকে ঘূর্ণন × স্কেল × ঘূর্ণন রূপে লেখা — লিনিয়ার অ্যালজেব্রার মুকুট।
- প্রতিসম ম্যাট্রিক্সSymmetric matrix
- Aᵀ = A হলে; এর সব আইগেনভ্যালু বাস্তব এবং আইগেনভেক্টরগুলো লম্ব করা যায়।
T
3টি শব্দ- টেনসরTensor
- বহু-মাত্রিক অ্যারে — স্কেলার (০D), ভেক্টর (১D), ম্যাট্রিক্স (২D)-এর সাধারণ রূপ।
- ট্রেস
tr(A)Trace - মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলোর যোগফল — আইগেনভ্যালুগুলোর যোগের সমান।
- ট্রান্সপোজ
AᵀTranspose - সারি ও কলাম বদলানো: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ।
U
1টি শব্দV
4টি শব্দ- ভেদ (ভ্যারিয়েন্স)
Var(X)Variance - গড় থেকে গড় বর্গ-দূরত্ব — ছড়িয়ে থাকার পরিমাপ।
- ভেক্টর
𝐯, v⃗Vector - মাত্রা ও দিকযুক্ত একটি বস্তু — সংখ্যার একটি সাজানো তালিকা হিসেবেও বোঝা যায়।
- ভেক্টর স্পেসVector space
- এমন একটি সেট যেখানে যোগ ও স্কেলার-গুণ সংজ্ঞায়িত এবং নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধ মানে।