আইগেনভেক্টর

Eigenvectors

λ পেলাম — এবার তার দিক বের করি

≈ ১০ মিনিট

Eigenvalue পেলে eigenvector বের করা সরল — শুধু (A − λI)v = 0 সমাধান করো। কিন্তু এই ছোট কাজের ভেতর লুকিয়ে আছে ম্যাট্রিক্সের ‘স্বাভাবিক অক্ষ’ — যেগুলো বরাবর পুরো কাহিনি সহজ হয়ে যায়।

পদ্ধতি

ধাপ ১ — λ বের করো (আগের পর্ব)।
ধাপ ২ — প্রতিটি λ-এর জন্য (A − λI)v = 0 সমাধান করো।
ধাপ ৩ — Null space-এর basis = eigenvector।

উদাহরণ (আগের A)

A = [4213], λ_{1} = 5, λ_{2} = 2

λ = 5:

(A - 5 I) = [- 1 2 1 - 2] \Rightarrow - v_{1} + v_{2} = 0 \Rightarrow v = (1, 1)

λ = 2:

(A - 2 I) = [2211] \Rightarrow 2 v_{1} + v_{2} = 0 \Rightarrow v = (1, - 2)

কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

Eigenvector-কে যেকোনো স্কেলার দিয়ে গুণ করলেও eigenvector থাকে।
তাই সাধারণত unit বা সরল রূপে লেখা হয়।
ভিন্ন λ-এর eigenvectors সবসময় রৈখিকভাবে স্বাধীন।
সিমেট্রিক A হলে eigenvectors পরস্পর লম্ব (orthogonal)।

প্রয়োগ

PageRank: ওয়েবগ্রাফের principal eigenvector।
Markov chain-এর stationary distribution = λ = 1-এর eigenvector।
Mode of vibration: পদার্থবিদ্যায় eigen-direction।

মূল ভাবনা

1.Eigenvector = Null(A − λI)-এর nonzero সদস্য।
2.Scaling-এ অপরিবর্তিত (একই দিক)।
3.ভিন্ন λ → স্বাধীন v।
4.Symmetric A → orthogonal eigenvectors।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।Eigenvector কীভাবে বের করে?

উত্তর:(A − λI)v = 0 সমাধান।

প্রশ্ন 2।একটি eigenvector কয়টি?

উত্তর:অসীম (যেকোনো scalar multiple)।

প্রশ্ন 3।Identity-এর eigenvectors?

উত্তর:যেকোনো nonzero ভেক্টর।

প্রশ্ন 4।Symmetric A-এর eigenvectors-এর বিশেষত্ব?

উত্তর:পরস্পর orthogonal।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“আইগেনভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“আইগেনভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“আইগেনভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“আইগেনভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4