← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 11.4
বীজগাণিতিক বনাম জ্যামিতিক বহুত্ব
Algebraic vs Geometric Multiplicity
একই λ কতবার আসছে, আর তার কতটি স্বাধীন দিক আছে
≈ ৯ মিনিট
একই eigenvalue characteristic equation-এ একাধিকবার আসতে পারে — সেটা বীজগাণিতিক বহুত্ব। কিন্তু তার সাথে আসলে কয়টি স্বাধীন eigenvector আছে — সেটা জ্যামিতিক বহুত্ব। দুটো সবসময় মেলে না, আর সেই অমিলেই diagonalization-এর গল্প শুরু।
দুটি সংজ্ঞা
- Algebraic multiplicity (AM): λ characteristic polynomial-এ কতবার root হিসেবে আসে।
- Geometric multiplicity (GM): dim(Null(A − λI)) — λ-এর জন্য স্বাধীন eigenvector সংখ্যা।
মৌলিক বিধি
অর্থাৎ জ্যামিতিক বহুত্ব কখনো বীজগাণিতিকের চেয়ে বেশি হতে পারে না।
তিনটি ছবি
- AM = GM সব λ-এর জন্য → diagonalizable।
- GM < AM কোনো λ-এর জন্য → defective ম্যাট্রিক্স, diagonalize হয় না।
- সব λ আলাদা (AM=1) → স্বয়ংক্রিয়ভাবে diagonalizable।
ক্লাসিক উদাহরণ — Shear
- λ = 1, AM = 2।
- (A − I)v = 0 → শুধু (1,0) দিক → GM = 1।
- AM > GM → defective।
Eigenspace
λ-এর eigenspace = Null(A − λI)। এর dimension-ই GM। আলাদা λ-এর eigenspace সবসময় স্বাধীন।
পরের অধ্যায়ের সংযোগ
Eigenvector ও diagonalization-এর সম্পূর্ণ চিত্র পরবর্তী পর্বে — যেখানে দেখব ম্যাট্রিক্সকে কীভাবে A = PDP⁻¹ রূপে লেখা যায়।
মূল ভাবনা
- 1.AM = polynomial-এ root-এর বহুত্ব।
- 2.GM = স্বাধীন eigenvector সংখ্যা।
- 3.GM ≤ AM সবসময়।
- 4.AM = GM সব λ-এ → diagonalizable।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।AM-GM মূল অসমতা?
উত্তর:1 ≤ GM ≤ AM।
প্রশ্ন 2।Shear ম্যাট্রিক্সে?
উত্তর:AM = 2, GM = 1 → defective।
প্রশ্ন 3।সব λ আলাদা হলে?
উত্তর:অবশ্যই diagonalizable।
প্রশ্ন 4।Eigenspace মানে?
উত্তর:Null(A − λI)।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“বীজগাণিতিক বনাম জ্যামিতিক বহুত্ব” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“বীজগাণিতিক বনাম জ্যামিতিক বহুত্ব” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“বীজগাণিতিক বনাম জ্যামিতিক বহুত্ব” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“বীজগাণিতিক বনাম জ্যামিতিক বহুত্ব” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4