নির্ণয় পদ্ধতি
Computing Eigenvalues
ধাপে ধাপে — একটি বাস্তব উদাহরণ
≈ ১০ মিনিট
তত্ত্ব জানা এক কথা, হাতে কলমে eigenvalue বের করা আরেক কথা। চলো একটি ২×২ ম্যাট্রিক্সে পুরো প্রক্রিয়া দেখি।
উদাহরণ ম্যাট্রিক্স
ধাপ ১ — A − λI
ধাপ ২ — det = 0
ধাপ ৩ — মূল বের করো
যাচাই: trace = 4+3 = 7 = 5+2 ✓, det = 12−2 = 10 = 5·2 ✓।
৩×৩ ক্ষেত্রে
একই প্রক্রিয়া, কিন্তু det একটি ৩-degree polynomial দেয়। হাতে সমাধান কঠিন হলে rational root theorem বা সংখ্যাগত পদ্ধতি (QR algorithm) ব্যবহার করা হয়।
বিশেষ ম্যাট্রিক্স
- Diagonal ম্যাট্রিক্স → eigenvalue = ডায়াগোনালের entries।
- Triangular ম্যাট্রিক্স → একই কথা।
- Identity → সব λ = 1।
- Zero ম্যাট্রিক্স → সব λ = 0।
A = [[5, 4], [1, 2]]। eigenvalues ও eigenvectors।
det(A − λI) = (5-λ)(2-λ) − 4 = λ² − 7λ + 6 = (λ-6)(λ-1) → λ = 6, 1।
λ = 6 → (A − 6I)v = [[-1, 4], [1, -4]]v = 0 → v ∝ (4, 1)।
λ = 1 → (A − I)v = [[4, 4], [1, 1]]v = 0 → v ∝ (1, -1)।
যাচাই: A(4,1) = (5·4+4·1, 1·4+2·1) = (24, 6) = 6·(4,1) ✓।
মূল ভাবনা
- 1.তিন ধাপ: A−λI, det, মূল।
- 2.trace-det যাচাই দ্রুত চেক।
- 3.Triangular → ডায়াগোনালেই λ।
- 4.বড় ম্যাট্রিক্সে সংখ্যাগত পদ্ধতি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Diagonal(3, −1, 7)-এর λ?
প্রশ্ন 2।[[2,0],[0,2]]-এর λ?
প্রশ্ন 3।[[0,1],[−1,0]]-এর λ?
প্রশ্ন 4।প্রথম যাচাই কীভাবে?
প্রশ্ন 5।[[2, 1], [0, 2]]-এর eigenvalue ও eigenvector?
প্রশ্ন 6।[[0, -1], [1, 0]]-এর λ?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।