চারিত্রিক সমীকরণ
Characteristic Equation
det(A − λI) = 0 — eigenvalue খোঁজার সমীকরণ
≈ ৯ মিনিট
Av = λv থেকে শুরু করে সামান্য বীজগণিতে আমরা একটি অসাধারণ সমীকরণে পৌঁছাই — যেখানে λ-গুলো একটি বহুপদীর মূল হিসেবে আবির্ভূত হয়। এটাই characteristic equation।
উৎপত্তি
v ≠ 0 হওয়া দরকার, তাই (A − λI) singular হতে হবে — মানে:
চারিত্রিক বহুপদী
p(λ) = det(A − λI) একটি n-degree বহুপদী (A হলো n×n)। এর মূলগুলোই eigenvalues।
- n-degree → সর্বাধিক n-টি eigenvalue (পুনরাবৃত্তি সহ)।
- বাস্তব ম্যাট্রিক্সেও λ জটিল সংখ্যা হতে পারে।
- সিমেট্রিক A হলে সব λ বাস্তব।
২×২ ক্ষেত্রে সূত্র
- a + d = trace(A) = λ₁ + λ₂।
- ad − bc = det(A) = λ₁ · λ₂।
জ্যামিতিক অর্থ
det(A − λI) = 0 মানে — λ এমন একটি স্কেলিং যা A-এর সাথে মিলে গেলে স্পেস ‘চুপসে’ যায় (singular হয়)। ওই λ-গুলোই বিশেষ।
A = [[6, -2], [2, 1]] দেওয়া। eigenvalue বের করো।
A − λI = [[6-λ, -2], [2, 1-λ]]।
det = (6-λ)(1-λ) − (-2)(2) = (6-λ)(1-λ) + 4।
বিস্তার: 6 − 6λ − λ + λ² + 4 = λ² − 7λ + 10।
যাচাই: trace = 6+1 = 7 ✓, det = 6·1 − (-2)·2 = 6 + 4 = 10 ✓।
মূল: λ² − 7λ + 10 = (λ-5)(λ-2) = 0 → λ = 5, 2।
মূল ভাবনা
- 1.det(A − λI) = 0 → characteristic equation।
- 2.এর মূলগুলো eigenvalue।
- 3.n×n → n-degree polynomial।
- 4.trace = Σλ, det = Πλ।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Characteristic equation?
প্রশ্ন 2।2×2 trace 5, det 6 → λ?
প্রশ্ন 3।λ = 0 কখন হয়?
প্রশ্ন 4।trace-এর সাথে λ-এর সম্পর্ক?
প্রশ্ন 5।A = [[3, 1], [0, 2]] — eigenvalue?
প্রশ্ন 6।একটি ৩×৩ ম্যাট্রিক্সের trace = 6, det = 6, এবং একটি eigenvalue 1 হলে বাকি দুটি?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।