অন্তর্দৃষ্টি

মূল সমীকরণ

v = eigenvector (দিক), λ = eigenvalue (স্কেল)। v-কে A প্রয়োগ করলে শুধু লম্বা-খাটো হয়, ঘোরে না।

λ-এর চারটি গল্প

• λ > 1 → v প্রসারিত হয়।
• 0 < λ < 1 → v সংকুচিত হয়।
• λ < 0 → v উল্টে যায় (দিক বদলায়)।
• λ = 0 → v শূন্যে পাঠানো হয় (null space-এ)।

জ্যামিতিক উদাহরণ

• x-অক্ষ বরাবর scaling 2× → ê₁ eigenvector, λ = 2।
• Reflection across x-axis → ê₁: λ=1, ê₂: λ=−1।
• Rotation (90°) → বাস্তব eigenvector নেই (সব ভেক্টর ঘোরে)।
• Shear → এক দিক স্থির, λ = 1।

কেন এত গুরুত্বপূর্ণ

• Aⁿ গণনা সহজ — eigen-direction-এ শুধু λⁿ গুণ।
• Differential equations-এর সমাধান eigen-দিকেই বসে।
• PCA, PageRank, quantum mechanics — সবার ভিত্তি।
• Stability analysis — λ-এর সাইন বলে সিস্টেম বাড়ে নাকি স্থির হয়।