ডায়াগোনালাইজেশন
Diagonalization
A = P D P⁻¹ — ম্যাট্রিক্সের সবচেয়ে সহজ রূপ
≈ ১১ মিনিট
যদি A-এর n-টি স্বাধীন eigenvector থাকে, তাহলে আমরা একটি নতুন basis-এ গিয়ে A-কে নিছক একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সে পরিণত করতে পারি। এটাই diagonalization — eigen-পর্বের মুকুট।
সূত্র
- P-এর কলাম = A-এর eigenvectors।
- D = ডায়াগোনাল, ডায়াগোনালে eigenvalues (একই ক্রমে)।
- P⁻¹ থাকতে হলে eigenvectors স্বাধীন হতে হবে।
কেন কাজ করে
AP = PD হলো মূল পরিচয় — A প্রতিটি কলামকে λ গুণ করে। তাই P⁻¹ দিয়ে গুণ করলে A = PDP⁻¹।
নতুন চশমার গল্প
- P⁻¹ — vector-কে eigen-basis-এ নিয়ে যাও।
- D — সেখানে শুধু স্কেল করো।
- P — standard basis-এ ফিরিয়ে আনো।
উদাহরণ (আগের A)
যাচাই: A = P D P⁻¹ হিসাব করলে মূল A ফিরে আসে।
কখন diagonalize করা যায় না
- GM < AM হলে — defective।
- যেমন shear [[1,1],[0,1]] — একই λ = 1, কিন্তু একটি মাত্র eigenvector।
- তখন Jordan form ব্যবহার করতে হয় (এই কোর্সের বাইরে)।
A = [[4, 1], [2, 3]]। ডায়াগোনালাইজ করো।
Characteristic: (4-λ)(3-λ) − 2 = λ² − 7λ + 10 → λ = 5, 2।
λ = 5 → (A − 5I)v = [[-1, 1], [2, -2]]v = 0 → v₁ = (1, 1)।
λ = 2 → (A − 2I)v = [[2, 1], [2, 1]]v = 0 → v₂ = (1, -2)।
P = [[1, 1], [1, -2]], D = [[5, 0], [0, 2]]।
A = PDP⁻¹। যাচাই: AP = [[5, 2], [5, -4]] = PD ✓।
মূল ভাবনা
- 1.A = PDP⁻¹।
- 2.P-এর কলাম eigenvector, D-তে eigenvalue।
- 3.n স্বাধীন eigenvector দরকার।
- 4.Defective হলে diagonalize হয় না।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।P-এর কলাম কী?
প্রশ্ন 2।D কেমন?
প্রশ্ন 3।Diagonalize করার পূর্বশর্ত?
প্রশ্ন 4।Defective মানে?
প্রশ্ন 5।[[2, 1], [0, 2]] কি diagonalizable?
প্রশ্ন 6।A = PDP⁻¹ হলে A⁵ কত?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।