ক্রস প্রোডাক্ট

Cross Product

দুই ভেক্টরের লম্ব দিক বের করার যন্ত্র

≈ ১৩ মিনিট

ডট প্রোডাক্ট দুটি ভেক্টর থেকে একটি সংখ্যা দেয়। কিন্তু কখনো কখনো আমাদের দরকার হয় — দুটি ভেক্টরের সমতলের ঠিক বাইরে একটি লম্ব ভেক্টর। সেই কাজটাই ক্রস প্রোডাক্ট। এটি কেবল ৩-মাত্রিক জগতে কাজ করে — এবং এর প্রতিটি বৈশিষ্ট্যই জাদুর মতো সুন্দর।

কেবল ℝ³-এ

সংজ্ঞা — সূত্র

u × v = [u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁]

এই সূত্রটা শুনতে জটিল লাগলেও, ডিটারমিন্যান্ট দিয়ে মনে রাখা সহজ — যা আমরা পরের একটি অধ্যায়ে দেখব।

জ্যামিতিক অর্থ

ফলাফল-ভেক্টরের দিক: u ও v দুটোরই লম্ব।
ফলাফল-ভেক্টরের দৈর্ঘ্য: ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ — এটি u ও v দিয়ে তৈরি সমান্তরাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল।
দিক নির্ধারণ: ডান-হাতের নিয়ম।

ক্ষেত্রফল ও আয়তন

‖u × v‖ = ‖u‖ · ‖v‖ · sin θ

u ও v দিয়ে তৈরি সমান্তরাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

ধর্ম — ডট প্রোডাক্টের চেয়ে আলাদা

ক্রম-বিপরীত: u × v = − (v × u) — ক্রম বদলালে দিক উল্টে যায়।
নিজের সাথে: u × u = 0 — কোনো ভেক্টর নিজের সাথে সমান্তরাল।
বণ্টনধর্ম: u × (v + w) = u × v + u × w।
স্কেলারের সাথে: (cu) × v = c(u × v)।

কোথায় ব্যবহার?

পদার্থবিদ্যা: টর্ক τ = r × F, কৌণিক বেগ, চৌম্বক বল।
কম্পিউটার গ্রাফিক্স: একটি তলের “নর্মাল” ভেক্টর = তলের দুটি বাহুর ক্রস প্রোডাক্ট।
জ্যামিতি: ক্ষেত্রফল, আয়তন, লম্ব দিক।

মূল ভাবনা

1.ক্রস প্রোডাক্ট কেবল ℝ³-এ; ফল আরেকটি ভেক্টর।
2.ফলের দিক — দুটোরই লম্ব; দৈর্ঘ্য — চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল।
3.ডান-হাতের নিয়ম দিক নির্ধারণ করে।
4.u × v = −v × u — ক্রম পাল্টালে দিক উল্টায়।
5.u × u = 0 — সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস শূন্য।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।i × j = ?

উত্তর:k — মানক ইউনিট ভেক্টরের ক্রস।

প্রশ্ন 2।v × v = ?

উত্তর:0 — শূন্য ভেক্টর।

প্রশ্ন 3।u = [1, 0, 0], v = [0, 2, 0] — u × v = ?

উত্তর:[0, 0, 2] — z-অক্ষ বরাবর; দৈর্ঘ্য ২ = চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল।

প্রশ্ন 4।u × v = 0 হলে u ও v-এর সম্পর্ক?

উত্তর:সমান্তরাল (বা একটি শূন্য ভেক্টর)।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“ক্রস প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“ক্রস প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“ক্রস প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“ক্রস প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4