ডট প্রোডাক্ট

Dot Product

মিল মাপার যন্ত্র — দুই ভেক্টর কতটা “একই দিকে”?

≈ ১৫ মিনিট

দুটি ভেক্টর একই দিকে গেলে তাদের মিল সর্বোচ্চ। লম্ব হলে মিল শূন্য। উল্টো দিকে গেলে মিল ঋণাত্মক। এই “মিল” মাপার সংখ্যাটাই ডট প্রোডাক্ট। মেশিন লার্নিং থেকে পদার্থবিদ্যা — সবখানে এর আনাগোনা।

বীজগাণিতিক সংজ্ঞা

দুটি একই-মাত্রিক ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট — কম্পোনেন্টগুলো ঘর-ভিত্তিক গুণ করো, তারপর সব যোগ করো। ফল একটি একক সংখ্যা (স্কেলার)।

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

[1, 2, 3] · [4, −5, 6] = 4 − 10 + 18 = 12

ঘর-গুণ + সব যোগ

জ্যামিতিক সংজ্ঞা

একই ডট প্রোডাক্টকে দৈর্ঘ্য ও কোণ দিয়েও লেখা যায়।

u · v = ‖u‖ · ‖v‖ · cos θ

দুই ভেক্টরের মাঝের কোণ θ

চিহ্ন দিয়েই কোণ চেনা

u · v > 0 — কোণ < 90°, একই দিকে ঝুঁকে আছে।
u · v = 0 — কোণ = 90°, একে অন্যের লম্ব (orthogonal)।
u · v < 0 — কোণ > 90°, বিপরীত দিকে ঝুঁকে।

কোণ বের করা

cos θ = (u · v) / (‖u‖ · ‖v‖)

দুই ভেক্টরের মাঝের কোণ

উদাহরণ

u = [1, 0], v = [1, 1]

u · v = 1·1 + 0·1 = 1

‖u‖ = 1, ‖v‖ = √2

cos θ = 1 / √2 ⇒ θ = 45°

ডট প্রোডাক্টের ধর্ম

ক্রমধর্ম: u · v = v · u।
বণ্টনধর্ম: u · (v + w) = u · v + u · w।
স্কেলারের সাথে: (cu) · v = c (u · v)।
নিজের সাথে: u · u = ‖u‖² — দৈর্ঘ্যের বর্গ।

কোথায় কোথায় ব্যবহার?

মূল ভাবনা

1.ডট প্রোডাক্ট = ঘর-ভিত্তিক গুণ + সব যোগ; ফল একটি স্কেলার।
2.u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ — দৈর্ঘ্য ও কোণ দিয়ে রূপ।
3.চিহ্ন বলে দেয় কোণ তীক্ষ্ণ, সমকোণ, না স্থূল।
4.u · u = ‖u‖² — দৈর্ঘ্যের সাথে সরাসরি সম্পর্ক।
5.মেশিন লার্নিং, পদার্থবিদ্যা — সর্বত্র উপস্থিত।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।[2, 3] · [4, −1] = ?

উত্তর:2·4 + 3·(−1) = 8 − 3 = 5।

প্রশ্ন 2।[1, 2, 3] · [4, −5, 2] = ?

উত্তর:4 − 10 + 6 = 0 — লম্ব!

প্রশ্ন 3।u · u = 25 হলে ‖u‖ = ?

উত্তর:5।

প্রশ্ন 4।u = [3, 4], v = [4, −3] — সম্পর্ক?

উত্তর:u · v = 12 − 12 = 0 — পরস্পর লম্ব।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“ডট প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“ডট প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“ডট প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“ডট প্রোডাক্ট” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4