ভেক্টরের দৈর্ঘ্য

Vector Norms

L1, L2, L∞ — দৈর্ঘ্য মাপার বিভিন্ন রীতি

≈ ১২ মিনিট

একটি বিন্দু থেকে আরেক বিন্দুতে যাওয়ার দূরত্ব — উড়োজাহাজে এক, পায়ে হাঁটায় আরেক, ম্যানহাটনের রাস্তায় আরেক রকম। দূরত্ব কেবল একভাবে মাপা যায় না। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা “নর্ম”-ও তাই বিভিন্ন রকম।

L2 নর্ম — ইউক্লিডিয়ান দৈর্ঘ্য

সবচেয়ে পরিচিত — পিথাগোরাসের সূত্রে তৈরি। ভেক্টর তীরটার আক্ষরিক দৈর্ঘ্য।

‖v‖₂ = √(v₁² + v₂² + … + vₙ²)

উদাহরণ

v = [3, 4]

‖v‖₂ = √(9 + 16) = √25 = 5

L1 নর্ম — “ম্যানহাটন” দূরত্ব

প্রতিটি কম্পোনেন্টের পরম মানের যোগফল। যেন রাস্তায় হাঁটছ — তির্যক যেতে পার না, কেবল ডান-বাম-উপর-নিচ।

‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + … + |vₙ|

উদাহরণ

v = [3, −4]

‖v‖₁ = 3 + 4 = 7

L∞ নর্ম — সর্বোচ্চ কম্পোনেন্ট

সব কম্পোনেন্টের পরম মানের মধ্যে সর্বোচ্চটি। যেন বলছ — “যে অক্ষে সবচেয়ে দূরে গেছি, সেটাই গণ্য”।

‖v‖∞ = max(|v₁|, |v₂|, …, |vₙ|)

উদাহরণ

v = [3, −7, 2]

‖v‖∞ = 7

তিন নর্ম একসাথে — একটি ছবি

নর্ম-এর সর্বজনীন ধর্ম

অ-ঋণাত্মক: ‖v‖ ≥ 0; সমান শূন্য তখনই যখন v = 0।
স্কেলারে: ‖cv‖ = |c| · ‖v‖।
ত্রিভুজ অসমতা: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ — “সরাসরি গেলে কম দূরত্ব”।

কোথায় ব্যবহার?

মূল ভাবনা

1.L2 = পিথাগোরাসীয় দৈর্ঘ্য, ‖v‖₂ = √(Σvᵢ²)।
2.L1 = পরম মানের যোগ, ম্যানহাটন দূরত্ব।
3.L∞ = সর্বোচ্চ পরম মান।
4.ত্রিভুজ অসমতা — সরাসরি যাওয়াই সবসময় ছোট।
5.‖v‖₂² = v · v — ডট প্রোডাক্টের সাথে সরাসরি যোগ।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।v = [1, 2, 2] — ‖v‖₂ = ?

উত্তর:√(1+4+4) = 3।

প্রশ্ন 2।v = [−3, 4] — ‖v‖₁ = ?

উত্তর:3 + 4 = 7।

প্রশ্ন 3।v = [2, −5, 1] — ‖v‖∞ = ?

উত্তর:5।

প্রশ্ন 4।‖2v‖ = ? যদি ‖v‖ = 7

উত্তর:|2| · 7 = 14।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“ভেক্টরের দৈর্ঘ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“ভেক্টরের দৈর্ঘ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“ভেক্টরের দৈর্ঘ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“ভেক্টরের দৈর্ঘ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4