← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 1.8
একক ভেক্টর
Unit Vectors
শুধু দিক বহনকারী খাঁটি ভেক্টর
≈ ১০ মিনিট
একটি ভেক্টরে দুই তথ্য — দৈর্ঘ্য ও দিক। যদি দৈর্ঘ্যকে ১ বানিয়ে দাও, বাকি থাকে কেবল “দিক”। সেই বিশুদ্ধ দিক-বহনকারী ভেক্টরই একক ভেক্টর।
সংজ্ঞা
যে ভেক্টরের L2 দৈর্ঘ্য ঠিক ১, সেটি একক ভেক্টর (unit vector)। সাধারণত একে টুপি-চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়: v̂।
‖v̂‖ = 1
যেকোনো ভেক্টরকে একক বানানো — নর্মালাইজেশন
v ভেক্টরকে নিজের দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করে দাও — পাবে একই দিকের একটি একক ভেক্টর।
v̂ = v / ‖v‖
উদাহরণ
উদাহরণ
v = [3, 4]
‖v‖ = 5
v̂ = [3/5, 4/5] = [0.6, 0.8]
যাচাই: √(0.36 + 0.64) = √1 = 1 ✓
স্ট্যান্ডার্ড একক ভেক্টর
ℝⁿ-এ n-টি বিশেষ একক ভেক্টর — প্রতিটির একটি কম্পোনেন্ট ১, বাকি সব ০। এদের বলে স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ভেক্টর।
e₁ = [1, 0, 0], e₂ = [0, 1, 0], e₃ = [0, 0, 1]
ℝ³-এ এদের আলাদা নাম: i, j, k — যেগুলো আগে ভেক্টর নোটেশন অধ্যায়ে দেখেছ।
একক ভেক্টর কেন গুরুত্বপূর্ণ?
- দিক ও দৈর্ঘ্য আলাদা করে দেখা যায়: v = ‖v‖ · v̂।
- অভিক্ষেপ (projection) গণনায় একক ভেক্টর সরল করে।
- মেশিন লার্নিং-এ cosine similarity = u · v / (‖u‖‖v‖) = û · v̂।
- পদার্থবিদ্যায় “কোন দিকে” বলতে সবসময় একক ভেক্টর।
মূল ভাবনা
- 1.একক ভেক্টর = দৈর্ঘ্য ১, কেবল দিক বহন করে।
- 2.v̂ = v / ‖v‖ — নর্মালাইজেশনের সূত্র।
- 3.শূন্য ভেক্টরকে নর্মালাইজ করা যায় না।
- 4.i, j, k — ℝ³-এর স্ট্যান্ডার্ড একক ভেক্টর।
- 5.v = ‖v‖ · v̂ — দৈর্ঘ্য ও দিক আলাদা।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।v = [6, 8] — v̂ = ?
উত্তর:‖v‖ = 10, v̂ = [0.6, 0.8]।
প্রশ্ন 2।v = [1, 1, 1] — v̂ = ?
উত্তর:‖v‖ = √3, v̂ = [1/√3, 1/√3, 1/√3]।
প্রশ্ন 3।‖v̂‖ কত — সবসময়?
উত্তর:1 — সংজ্ঞা অনুযায়ী।
প্রশ্ন 4।‖v‖ = 7 এবং v̂ = [0, 1, 0] হলে v = ?
উত্তর:‖v‖ · v̂ = [0, 7, 0]।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“একক ভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“একক ভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“একক ভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“একক ভেক্টর” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4