রৈখিক সংমিশ্রণ
Linear Combinations
ভেক্টর মিশিয়ে নতুন ভেক্টর — ভেক্টর স্পেসের জন্ম
≈ ১৪ মিনিট
তোমার কাছে আছে দুটি রঙ — লাল আর নীল। এদের বিভিন্ন অনুপাতে মিশিয়ে তুমি বানাতে পারো গোলাপি, বেগুনি, মেরুন — অসংখ্য নতুন রঙ। ভেক্টরের সাথেও তেমনই — কয়েকটি ভেক্টর দিয়ে তুমি অসীম নতুন ভেক্টর বানাতে পারো। এই “মিশ্রণ”-এর নামই রৈখিক সংমিশ্রণ।
সংজ্ঞা
কয়েকটি ভেক্টর v₁, v₂, …, vₙ এবং কিছু স্কেলার c₁, c₂, …, cₙ — এদের নিয়ে তৈরি যেকোনো ভেক্টর হলো একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।
অর্থাৎ — যোগ ও স্কেলার গুণ মিশিয়ে যা পাও, সবই রৈখিক সংমিশ্রণ।
ছোট্ট উদাহরণ
v₁ = [1, 0], v₂ = [0, 1]
3v₁ + 4v₂ = [3, 0] + [0, 4] = [3, 4]
অর্থাৎ — i ও j-কে ৩ ও ৪ অনুপাতে মিশিয়ে পেলাম [3, 4]।
স্প্যান (Span) — যা যা বানানো যায়
কয়েকটি ভেক্টরের সব রৈখিক সংমিশ্রণ মিলে যে সেট তৈরি হয়, তাকে বলে ঐ ভেক্টরগুলোর স্প্যান। এটি বলে — “এই ভেক্টরগুলো দিয়ে তুমি যা যা ভেক্টর বানাতে পার”।
- একটি অশূন্য ভেক্টরের স্প্যান = মূলবিন্দু দিয়ে যাওয়া একটি রেখা।
- দুটি অ-সমান্তরাল ℝ²-এ ভেক্টরের স্প্যান = পুরো তল।
- তিনটি অ-সমতলীয় ℝ³-এ ভেক্টরের স্প্যান = পুরো ৩-মাত্রিক স্থান।
রৈখিক নির্ভরশীলতা
কয়েকটি ভেক্টরের একটিকে যদি বাকিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসেবে লেখা যায়, তবে তারা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল (linearly dependent)। নাহলে — স্বাধীন (independent)।
v₁ = [1, 2], v₂ = [2, 4]
v₂ = 2v₁ — একটিকে অন্যটি দিয়ে বানানো যাচ্ছে।
এরা নির্ভরশীল; দুটি একই রেখায় থাকে — স্প্যান শুধু একটি রেখা।
v₁ = [1, 0], v₂ = [0, 1]
কোনোভাবেই একটিকে অপরটির স্কেলার গুণ হিসেবে লেখা যায় না।
এরা স্বাধীন; স্প্যান পুরো ℝ²।
বেসিস — সবচেয়ে কম দিয়ে সব
যে স্বাধীন ভেক্টরগুলোর স্প্যান পুরো স্থান, তাদের বলে সেই স্থানের বেসিস (basis)। ℝ²-এর সবচেয়ে সাধারণ বেসিস {i, j}; ℝ³-এর {i, j, k}। কিন্তু আরও অনেক বেসিস সম্ভব — একটি সঠিক বেসিস বেছে নেওয়াই অনেক সমস্যার সমাধান।
পর্ব ১-এর সমাপনী চিন্তা
আমরা যাত্রা শুরু করেছিলাম একটি সাধারণ তীর দিয়ে। শেষ করছি “স্প্যান”, “বেসিস”, “স্বাধীনতা” — এমন গভীর ধারণায়। ভেক্টর আর শুধু তীর নয় — এক বিশাল গাণিতিক স্থাপনার ইট। পরের পর্বে আমরা দেখব এই ইট দিয়ে আমরা কী বানাই — ম্যাট্রিক্স।
মূল ভাবনা
- 1.রৈখিক সংমিশ্রণ = স্কেলার গুণ + যোগ।
- 2.স্প্যান = কয়েকটি ভেক্টর দিয়ে যা যা বানানো যায়।
- 3.নির্ভরশীল = একটিকে অন্যগুলো দিয়ে বানানো যাচ্ছে।
- 4.বেসিস = সবচেয়ে কম স্বাধীন ভেক্টর দিয়ে পুরো স্থান।
- 5.এই ধারণাগুলোই পরের সব অধ্যায়ের ভিত্তি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।v₁ = [1, 0], v₂ = [0, 1] — 2v₁ + 3v₂ = ?
প্রশ্ন 2।v₁ = [1, 2], v₂ = [2, 4] — স্বাধীন না নির্ভরশীল?
প্রশ্ন 3।ℝ²-এর স্প্যান হতে ন্যূনতম কতগুলো স্বাধীন ভেক্টর লাগে?
প্রশ্ন 4।একটি অশূন্য ভেক্টরের স্প্যান কী?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।