রূপান্তর কী?
What is a Transformation?
তল কীভাবে নড়ে — ফাংশন শব্দটার নতুন পোশাক
≈ ১১ মিনিট
ফাংশন শব্দটা পুরোনো। কিন্তু যখন একটি ফাংশন ভেক্টরকে ভেক্টরে পাঠায় — তখন তাকে আমরা আদর করে ডাকি ‘রূপান্তর’ (transformation)। কেন এই নতুন নাম? কারণ এখন আমরা শুধু সংখ্যা নয়, পুরো তলকে নড়তে দেখব।
সংজ্ঞা
রূপান্তর হলো একটি ফাংশন T যা একটি ভেক্টর স্থান থেকে আরেকটি ভেক্টর স্থানে পাঠায়।
যদি T যোগশীলতা ও সমসত্ত্বতা মানে — তবে এটি লিনিয়ার রূপান্তর। এই অধ্যায়ে আমরা মূলত লিনিয়ার রূপান্তরের কথাই বলব।
তলকে নাড়ানো — চলচ্চিত্রের ফ্রেম
একটি গ্রিড-পেপার কল্পনা করো। প্রতিটি বিন্দু একটি ভেক্টর। T প্রয়োগ করলে — সমস্ত বিন্দু একসাথে নতুন জায়গায় চলে যায়। কেউ ঘোরে, কেউ টানে, কেউ আয়নায় উল্টায়।
- ইনপুট তল = মূল গ্রিড।
- আউটপুট তল = রূপান্তরিত গ্রিড।
- প্রতিটি ভেক্টর v → T(v) — একটি ‘গতি’।
লিনিয়ার রূপান্তরের নিয়ম
T লিনিয়ার হলে — পুরো গ্রিড নড়লেও কিছু নিয়ম অটুট থাকে।
- উৎস (০) কখনো নড়ে না।
- সরলরেখা সরলরেখাই থাকে — বাঁকে না।
- সমান্তরাল রেখা সমান্তরালই থাকে।
ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রকাশ
প্রতিটি লিনিয়ার রূপান্তর T-কে একটি ম্যাট্রিক্স A দিয়ে লেখা যায় — T(v) = Av। আর A-এর প্রতিটি কলাম হলো — বেসিস ভেক্টর রূপান্তরের পর কোথায় গেল।
মূল ভাবনা
- 1.রূপান্তর = ভেক্টর → ভেক্টর ফাংশন।
- 2.লিনিয়ার হলে উৎস স্থির, রেখা সরল, সমান্তরাল সমান্তরাল।
- 3.অনুবাদ লিনিয়ার নয় — affine।
- 4.T = ম্যাট্রিক্স; কলাম = বেসিসের ছবি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।T(v) = v + [1, 1]ᵀ — লিনিয়ার?
প্রশ্ন 2।T(v) = 3v — লিনিয়ার?
প্রশ্ন 3।T(e₁) = [2,1], T(e₂) = [−1,3] — ম্যাট্রিক্স?
প্রশ্ন 4।লিনিয়ার রূপান্তরে বৃত্ত কী হবে?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।