ঘূর্ণন
Rotation
কোণ অনুযায়ী ঘুরানো — সাইন-কোসাইন আবার ফিরে এলো
≈ ১২ মিনিট
ঘূর্ণন সবচেয়ে স্বচ্ছ লিনিয়ার রূপান্তর। দৈর্ঘ্য বদলায় না, কোণ বদলায় না — শুধু পুরো তল একটি কেন্দ্রের চারপাশে ঘুরে যায়। আর এর ম্যাট্রিক্সে দেখা যায় ত্রিকোণমিতির পুরোনো বন্ধু — sin ও cos।
মূল ম্যাট্রিক্স
θ কোণে বাম-হাতে (counterclockwise) ঘূর্ণনের ম্যাট্রিক্স —
কেন এই রূপ? কারণ —
- e₁ = [1, 0] ঘুরে গেল → [cosθ, sinθ] (প্রথম কলাম)।
- e₂ = [0, 1] ঘুরে গেল → [−sinθ, cosθ] (দ্বিতীয় কলাম)।
উদাহরণ
θ = 90° → cosθ = 0, sinθ = 1
R(90°) = [[0, −1], [1, 0]]
v = [1, 0]ᵀ → Rv = [0, 1]ᵀ (e₁ → e₂)
v = [0, 1]ᵀ → Rv = [−1, 0]ᵀ (e₂ → −e₁)
ঘূর্ণনের ধর্ম
- দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত — ‖Rv‖ = ‖v‖।
- কোণ অপরিবর্তিত — দুই ভেক্টরের মধ্যকার কোণ একই থাকে।
- det R(θ) = cos²θ + sin²θ = 1 — ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত, অভিমুখও ঠিক।
- Rᵀ = R⁻¹ — অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
ঘূর্ণনের সংমিশ্রণ
প্রথমে α কোণে ঘুরিয়ে তারপর β কোণে — মোট (α + β) কোণে ঘূর্ণন।
ত্রি-মাত্রায় ঘূর্ণন
৩D-তে ঘূর্ণন একটি অক্ষের চারপাশে হয়। x, y, z — তিন অক্ষের জন্য তিনটি আলাদা ম্যাট্রিক্স। জটিল ঘূর্ণন এদের গুণফল। গেম ইঞ্জিন ও রোবটিক্সের ভিত্তি।
মূল ভাবনা
- 1.R(θ) = [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]।
- 2.ঘূর্ণনে দৈর্ঘ্য ও কোণ অপরিবর্তিত।
- 3.det = 1, Rᵀ = R⁻¹ (অর্থোগোনাল)।
- 4.R(β)R(α) = R(α+β)।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।R(180°) = ?
প্রশ্ন 2।R(360°) = ?
প্রশ্ন 3।R(θ)-এর বিপরীত?
প্রশ্ন 4।v = [3, 4]ᵀ-এর দৈর্ঘ্য ৫। R(45°)v-এর দৈর্ঘ্য?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।