স্কেলিং
Scaling
বড়/ছোট করা — প্রতিটি অক্ষে স্বাধীন টান
≈ ১০ মিনিট
স্কেলিং সবচেয়ে সরল রূপান্তর। প্রতিটি অক্ষকে আলাদা গুণফলে টানো — তল ফোলে বা চাপে, কিন্তু ঘোরে না, বাঁকে না। অথচ এই সরল ক্রিয়াই eigenvalues ধারণার বীজ।
মূল ম্যাট্রিক্স
x-অক্ষে sₓ ও y-অক্ষে sᵧ গুণফলে স্কেলিং —
S একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (diagonal)। সব কর্ণ-ম্যাট্রিক্স আসলে অক্ষ-বরাবর স্কেলিং।
ক্রিয়া
- e₁ → sₓ · e₁ (x-অক্ষ sₓ গুণ টানা/চাপা)।
- e₂ → sᵧ · e₂ (y-অক্ষ sᵧ গুণ)।
- যেকোনো v = [x, y]ᵀ → [sₓx, sᵧy]ᵀ।
বিশেষ ক্ষেত্র
- sₓ = sᵧ = c — অভিন্ন (uniform) স্কেলিং, আকৃতি অপরিবর্তিত।
- sₓ = 1, sᵧ = −1 — x-অক্ষে প্রতিফলন।
- sₓ = 0 — তল y-অক্ষে চ্যাপ্টা হয়ে যায় (det = 0, র্যাঙ্ক কমে)।
- sₓ, sᵧ < 1 — সংকোচন।
নির্ণায়ক ও ক্ষেত্রফল
একক বর্গের ক্ষেত্রফল ১ ছিল। স্কেলিংয়ের পর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হয় sₓ · sᵧ — ঠিক নির্ণায়কের সমান।
eigenvalues-এর সাথে যোগসূত্র
S-এর জন্য e₁ ও e₂ হলো বিশেষ ভেক্টর — দিক বদলায় না, শুধু টানে। এদের বলে আইগেনভেক্টর, আর টানের গুণফল sₓ, sᵧ — আইগেনভ্যালু। যেকোনো ম্যাট্রিক্সকে সঠিক বেসিসে দেখলে এমন কর্ণ-স্কেলিংয়েই রূপ নেয় — এটিই eigendecomposition।
মূল ভাবনা
- 1.S = diag(sₓ, sᵧ) — অক্ষ-বরাবর স্কেলিং।
- 2.det S = sₓ · sᵧ = ক্ষেত্রফলের ফ্যাক্টর।
- 3.sᵢ < 0 — সাথে প্রতিফলন। sᵢ = 0 — মাত্রা পতন।
- 4.অক্ষ-বরাবর ভেক্টরই S-এর eigenvector।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।S = [[3, 0], [0, 3]] — ক্রিয়া?
প্রশ্ন 2।S = [[2, 0], [0, 0.5]] — ক্রিয়া?
প্রশ্ন 3।S = [[1, 0], [0, 0]] — det ও র্যাঙ্ক?
প্রশ্ন 4।S = [[−1, 0], [0, 1]] — কী?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।