ফাংশন

Functions

ইনপুট → মেশিন → আউটপুট

≈ ১৪ মিনিট

একটি জুসারের কথা ভাবো। তুমি ভেতরে কমলা ঢালো, বাইরে রস বের হয়। যা-ই ভেতরে দাও, তার জন্য একটাই নির্দিষ্ট আউটপুট আসে। এই “মেশিন”-ই গণিতে ফাংশন। লিনিয়ার অ্যালজেব্রার পুরো গল্পটাই আসলে একটি বিশেষ ধরনের ফাংশন — “রৈখিক ফাংশন” — নিয়ে।

ফাংশনের সংজ্ঞা

ফাংশন হলো এমন একটি নিয়ম যা প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ করে। গুরুত্বপূর্ণ শব্দটি — “ঠিক একটি”। একই ইনপুট দিলে দু’বার দু’রকম আউটপুট আসতে পারে না; সেটা হলে আর ফাংশন থাকে না।

f(x) = 2x + 1

একটি ফাংশন: ইনপুট x, নিয়ম 2x+1, আউটপুট f(x)

ডোমেইন ও রেঞ্জ

Domain (ডোমেইন): যেসব ইনপুট ফাংশন গ্রহণ করতে পারে।
Range (রেঞ্জ): যত রকম আউটপুট ফাংশন দিতে পারে।
উদাহরণ: f(x) = √x — ডোমেইন x ≥ 0 (ঋণাত্মকের বর্গমূল বাস্তব নয়), রেঞ্জ y ≥ 0।

ফাংশনের তিনটি রূপ

একই ফাংশন তিনভাবে উপস্থাপন করা যায় — এবং পরিণত শিক্ষার্থীরা তিনটিই একসাথে দেখতে পারেন।

সমীকরণ আকারে: f(x) = x² ।
সারণি আকারে: x = ০, ১, ২, ৩ এর জন্য f(x) = ০, ১, ৪, ৯ ।
গ্রাফ আকারে: x-অক্ষ বরাবর ইনপুট, y-অক্ষ বরাবর আউটপুট আঁকলে একটি বক্ররেখা।

রৈখিক ফাংশন (Linear Function)

সবচেয়ে সরল ফাংশন: f(x) = mx + c। গ্রাফ একটি সরলরেখা। এখানে m হলো ঢাল (slope) — কত খাড়া; c হলো y-অক্ষে কাটার বিন্দু (y-intercept)। এই “রৈখিকতা” পরে আমাদের পুরো বইয়ের কেন্দ্রবিন্দু হয়ে দাঁড়াবে।

f(x) = 2x + 1

ঢাল ২, y-অক্ষে কাটে (০, ১) বিন্দুতে

অরৈখিক ফাংশনের ঝলক

f(x) = x² — পরাবৃত্ত (parabola), U-আকৃতি।
f(x) = sin(x) — তরঙ্গ, উপরে-নিচে দোলে।
f(x) = eˣ — দ্রুত বাড়ে, “exponential growth”।

ফাংশনের গঠন (Composition)

এক মেশিনের আউটপুট আরেক মেশিনে ঢালা যায়। যদি g(x) = x + 1 এবং f(x) = 2x হয়, তবে f(g(x)) = 2(x+1) = 2x + 2। মানে — আগে g মেশিন চালাও, তার আউটপুট f-এ ঢালো।

ফাংশনের একটি ছোট্ট পরীক্ষা: Vertical Line Test

একটি গ্রাফ ফাংশন কিনা পরীক্ষা করতে — যেকোনো খাড়া রেখা টানো। যদি গ্রাফকে একাধিক জায়গায় কাটে, তবে এটি ফাংশন নয় (এক ইনপুটে দুই আউটপুট আসছে)। যদি প্রতিটি খাড়া রেখা সর্বাধিক একবার কাটে, তবে এটি ফাংশন।

মূল ভাবনা

1.ফাংশন = নিয়ম, যা প্রতি ইনপুটে ঠিক একটি আউটপুট দেয়।
2.f(x) মানে f-গুণ-x নয়, “f মেশিনে x”।
3.একই ফাংশন: সমীকরণ + সারণি + গ্রাফ — তিন রূপে দেখো।
4.রৈখিক ফাংশন f(x)=mx+c-ই লিনিয়ার অ্যালজেব্রার বীজ।
5.ফাংশনের কম্পোজিশন = ম্যাট্রিক্স গুণের পূর্বাভাস।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।f(x) = 3x − 5 হলে f(4) = ?

উত্তর:3(4) − 5 = 7।

প্রশ্ন 2।g(x) = x², f(x) = x + 1 হলে f(g(2)) = ?

উত্তর:g(2) = 4, f(4) = 5।

প্রশ্ন 3।f(x) = 1/x — এর ডোমেইন কী?

উত্তর:x ≠ 0 ছাড়া সব বাস্তব সংখ্যা (০ দিয়ে ভাগ অসংজ্ঞায়িত)।

প্রশ্ন 4।একটি বৃত্ত (যেমন x² + y² = 1) কি y = f(x) আকারে ফাংশন?

উত্তর:না — vertical line test ব্যর্থ; উপরের ও নিচের দুই বিন্দু একই x-এ মেলে।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“ফাংশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“ফাংশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“ফাংশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“ফাংশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4