স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
Coordinate Geometry
সংখ্যা ও জ্যামিতির বিয়ে — কার্তেসীয় তল
≈ ১৩ মিনিট
একদিন বিছানায় শুয়ে রেনে দেকার্ত ছাদের দিকে তাকিয়ে একটি মাছিকে উড়তে দেখলেন। তিনি ভাবলেন — “এই মাছির অবস্থান আমি কীভাবে দুটি সংখ্যা দিয়ে বলতে পারি?” সেই চিন্তা থেকেই জন্ম নিল কার্তেসীয় তল — গণিতের ইতিহাসের সবচেয়ে শক্তিশালী আবিষ্কারগুলোর একটি।
এক রেখা থেকে দুই রেখায়
আগের অধ্যায়ে আমরা একটি অনুভূমিক সংখ্যারেখা দেখেছি। এখন এর সাথে একটি উল্লম্ব রেখা মিলাও — যেটা শূন্যে এসে আগেরটিকে ছেদ করে। ব্যাস, তৈরি হলো কার্তেসীয় তল (Cartesian plane)।
- অনুভূমিক রেখা = x-অক্ষ (ডানে বাড়ে, বামে কমে)।
- উল্লম্ব রেখা = y-অক্ষ (উপরে বাড়ে, নিচে কমে)।
- যেখানে দুই অক্ষ মেলে = মূলবিন্দু (origin), (0, 0)।
বিন্দু = দুটি সংখ্যার জোড়া
তলের প্রতিটি বিন্দুকে আমরা (x, y) আকারে দুটি সংখ্যা দিয়ে চিনতে পারি। প্রথম সংখ্যা — কত ডানে/বামে; দ্বিতীয় সংখ্যা — কত উপরে/নিচে।
চারটি কোয়াড্রেন্ট
- Q1: x > 0, y > 0 — ডান-উপর।
- Q2: x < 0, y > 0 — বাম-উপর।
- Q3: x < 0, y < 0 — বাম-নিচ।
- Q4: x > 0, y < 0 — ডান-নিচ।
দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব
দুটি বিন্দু A(x₁, y₁) ও B(x₂, y₂) — তাদের মধ্যে সরলরেখার দূরত্ব মাপতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করি। অনুভূমিক ফাঁক (x₂ − x₁), উল্লম্ব ফাঁক (y₂ − y₁) — এই দুই বাহু নিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ; কর্ণই দূরত্ব।
A = (1, 2), B = (4, 6) — দূরত্ব?
Δx = 4 − 1 = 3, Δy = 6 − 2 = 4
d = √(9 + 16) = √25 = 5
মধ্যবিন্দু
দুই বিন্দুর ঠিক মাঝখানের বিন্দু পেতে — দুটি x-এর গড়, দুটি y-এর গড়।
দিক — কোথায় যাচ্ছ?
একটি বিন্দু থেকে আরেক বিন্দুতে যেতে যে “তীর” আঁকতে হয়, তার দিকই হবে ভেক্টরের জন্ম-বীজ। আজ আমরা শুধু লক্ষ করি — দুটি বিন্দু দিলে শুধু দূরত্বই নয়, একটা দিকও পাওয়া যায়।
তৃতীয় মাত্রায় ঝলক
একটি z-অক্ষ যোগ করলে পাই ত্রিমাত্রিক স্থান, বিন্দু হয় (x, y, z)। এরপর n-মাত্রিক স্থান — যেখানে প্রতিটি বিন্দু হলো n-টি সংখ্যার তালিকা। এই “n-টি সংখ্যা = এক বিন্দু” ধারণাটাই ভেক্টরের পথ খুলে দেবে।
মূল ভাবনা
- 1.কার্তেসীয় তল = দুটি লম্ব সংখ্যারেখা।
- 2.প্রতিটি বিন্দু = একটি অর্ডারড পেয়ার (x, y)।
- 3.দূরত্ব = √(Δx² + Δy²) — পিথাগোরাসের সরাসরি প্রয়োগ।
- 4.মধ্যবিন্দু = দুই স্থানাঙ্কের গড়।
- 5.n-মাত্রিক স্থানের ধারণা এখান থেকেই শুরু।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।(−2, 3) কোন কোয়াড্রেন্টে?
প্রশ্ন 2।A(0, 0) ও B(6, 8) — দূরত্ব?
প্রশ্ন 3।(2, 4) ও (8, 10)-এর মধ্যবিন্দু?
প্রশ্ন 4।y-অক্ষের উপরের যেকোনো বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক কত?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।