সমীকরণ ও অসমতা

Equations & Inequalities

সমান চিহ্নের আসল অর্থ — দুই দিকের ভারসাম্য

≈ ১৫ মিনিট

একটি দাঁড়িপাল্লা কল্পনা করো। একদিকে কিছু আম, অন্যদিকে কিছু বাটখারা। যদি পাল্লা সমান থাকে — দু’দিকের ওজন এক। গণিতের সমীকরণও তাই: “=” চিহ্ন মানে “দু’দিক সমান”, একটাও বেশি না, একটাও কম না।

সমীকরণ কী?

সমীকরণ হলো একটি বিবৃতি যা দাবি করে দুটি গাণিতিক রাশি সমান। যেমন: 2x + 3 = 11। এর মানে — বাঁ দিকের রাশি (2x + 3) ও ডান দিকের রাশি (11) একই মান বোঝায়। আমাদের কাজ এমন x খুঁজে বের করা যাতে দু’দিক সত্যিই সমান হয়।

সমীকরণ সমাধানের নিয়ম

দু’দিকে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করা যায়।
দু’দিককে একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করা যায়।
লক্ষ্য: চলককে একদিকে একা করে ফেলা।

উদাহরণ

ধাপে ধাপে সমাধান

সমীকরণ: 2x + 3 = 11

ধাপ ১: দু’দিক থেকে ৩ বিয়োগ করি → 2x = 8

ধাপ ২: দু’দিককে ২ দিয়ে ভাগ করি → x = 4

যাচাই: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 ✓

একাধিক চলকের সমীকরণ

যখন একটি সমীকরণে একাধিক চলক থাকে — যেমন x + y = 10 — তখন একটি সমীকরণ থেকে নির্দিষ্ট মান বের করা যায় না; অসংখ্য জোড়া (x, y) সমাধান হয়। এক-চলক হলে এক উত্তর, দুই-চলক হলে সাধারণত দুটি সমীকরণ দরকার, তিন-চলক হলে তিনটি — এই পর্যবেক্ষণ থেকেই জন্ম নেবে গোটা “সমীকরণ-পদ্ধতি” বা সিস্টেম, যা পরে ম্যাট্রিক্সের মূল প্রেরণা হয়ে দাঁড়াবে।

অসমতা (Inequality)

সব সম্পর্ক সমান নয়। কিছু বলে “বড়” (>), কিছু “ছোট” (<), কিছু “বড় বা সমান” (≥), কিছু “ছোট বা সমান” (≤)। যেমন: 2x + 3 < 11 মানে — বাঁ দিক ডান দিকের চেয়ে ছোট। এ ধরনের সম্পর্ককে অসমতা বলে।

অসমতার একটি বিশেষ নিয়ম

সমীকরণের প্রায় সব নিয়ম অসমতায়ও কাজ করে — একটি ব্যতিক্রম ছাড়া: যখন তুমি অসমতার দু’দিককে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করো, তখন অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়।

উদাহরণ

চিহ্ন উল্টানোর উদাহরণ

−2x < 6

দু’দিককে −২ দিয়ে ভাগ করি, চিহ্ন উল্টাবে:

x > −3

যাচাই: x = 0 নিলে −2(0) = 0 < 6 ✓; x = −৪ নিলে −2(−4) = 8, কিন্তু 8 < 6 মিথ্যা — তাই x অবশ্যই −৩-এর চেয়ে বড় হতে হবে।

সমীকরণ vs. অসমতার সমাধান-সেট

সমীকরণের সমাধান সাধারণত নির্দিষ্ট কিছু সংখ্যা (বিন্দু)।
অসমতার সমাধান সাধারণত একটি ব্যাপ্তি — সংখ্যারেখার একটি অংশ।
তাই সমীকরণ আঁকা = কয়েকটি বিন্দু; অসমতা আঁকা = সংখ্যারেখার ছায়া দেওয়া অংশ।

মূল ভাবনা

1.“=” মানে দুই পাশে একদম সমান — দাঁড়িপাল্লা।
2.যা-ই করো, দু’দিকে সমানভাবে করো।
3.অসমতায় ঋণাত্মক দিয়ে গুণ/ভাগ → চিহ্ন উল্টায়।
4.সমীকরণের সমাধান বিন্দু, অসমতার সমাধান ব্যাপ্তি।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।3x − 7 = 14 সমাধান করো।

উত্তর:3x = 21 ⇒ x = 7।

প্রশ্ন 2।5 − 2x = 11 সমাধান করো।

উত্তর:−2x = 6 ⇒ x = −3।

প্রশ্ন 3।−3x > 9 — x-এর মান কত?

উত্তর:x < −3 (ঋণাত্মক দিয়ে ভাগ, চিহ্ন উল্টেছে)।

প্রশ্ন 4।x + y = 10 — কতগুলো সমাধান আছে?

উত্তর:অসীম। যেমন (0,10), (1,9), (২.৫, ৭.৫) … । এক সমীকরণ, দুই চলক — নির্দিষ্ট উত্তরের জন্য আরও সমীকরণ দরকার।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“সমীকরণ ও অসমতা” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“সমীকরণ ও অসমতা” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“সমীকরণ ও অসমতা” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“সমীকরণ ও অসমতা” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4