মা
মাত্রা
← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 0.8

সেট ও যুক্তি

Sets & Logic

গাণিতিক ভাষার ব্যাকরণ

≈ ১২ মিনিট

প্রতিটি ভাষার একটি ব্যাকরণ আছে। গণিতেরও আছে — তার নাম সেট ও যুক্তি। ভেক্টর স্পেস, ম্যাট্রিক্সের ডোমেইন-রেঞ্জ, সমাধানের সেট — পুরো লিনিয়ার অ্যালজেব্রা আসলে সেট-এর গল্প। তাই অল্প সময় এখানে দিলে পরে অনেক ধোঁয়াশা কেটে যাবে।

সেট কী?

সেট হলো কিছু “সদস্য”-এর সংগ্রহ — কোনো ক্রম নেই, পুনরাবৃত্তি নেই। সদস্যদের আমরা বাঁকা বন্ধনীর ভেতর লিখি।

A = {1, 2, 3, 4}
চারটি সদস্যের একটি সেট
  • x ∈ A — x হলো A-এর সদস্য।
  • x ∉ A — x A-এর সদস্য নয়।
  • ∅ বা {} — খালি সেট, কোনো সদস্য নেই।

সেট লেখার দুই পদ্ধতি

  1. তালিকা পদ্ধতি: A = {2, 4, 6, 8}।
  2. শর্ত পদ্ধতি: A = {x ∈ ℕ : x জোড় এবং x ≤ 8}।

সেটের সম্পর্ক

  • Subset (উপসেট): A ⊆ B মানে A-এর প্রতিটি সদস্য B-তেও আছে।
  • Union (যোগ): A ∪ B = A বা B-এর সব সদস্য।
  • Intersection (ছেদ): A ∩ B = যা দুটোতেই আছে।
  • Difference (পার্থক্য): A \ B = A-তে আছে, B-তে নেই।
উদাহরণ
ছোট উদাহরণ

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

A ∩ B = {2, 3}

A \ B = {1}

গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যা-সেটগুলো

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
প্রাকৃতিক → পূর্ণ → মূলদ → বাস্তব → জটিল (ℂ = a + bi আকারের সংখ্যা, যেখানে i² = −1; ১৭ পর্বে বিস্তারিত)

যুক্তি — সত্য না মিথ্যা?

যেকোনো গাণিতিক বিবৃতি হয় সত্য, না হয় মিথ্যা। দুটি বিবৃতিকে যোগ করতে আমরা ব্যবহার করি সংযোজক।

  • AND (∧): দুটোই সত্য হলেই সত্য।
  • OR (∨): অন্তত একটি সত্য হলে সত্য।
  • NOT (¬): সত্যকে মিথ্যা, মিথ্যাকে সত্য করে।
  • Implication (⇒): “যদি P, তবে Q”।
  • Iff (⇔): “P সত্য তখনই এবং কেবল তখনই Q সত্য”।

পরিমাপক — “সব” বনাম “কিছু”

  • ∀ — “সকল” (for all)। ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0।
  • ∃ — “কোনো একটি আছে” (there exists)। ∃x ∈ ℝ : x² = 2।

প্রমাণের তিন ধরন (ঝলক)

  1. সরাসরি প্রমাণ: P থেকে ধাপে ধাপে Q-তে পৌঁছাও।
  2. বিপরীত প্রমাণ (Contrapositive): ¬Q ⇒ ¬P দেখাও।
  3. অসম্ভব প্রমাণ (Contradiction): ধরো Q মিথ্যা, তারপর গণ্ডগোল বের করো।

মূল ভাবনা

  • 1.সেট = সদস্যের সংগ্রহ, ক্রমহীন, পুনরাবৃত্তিহীন।
  • 2.∪, ∩, ⊆, \ — সেট-এর মৌলিক অপারেশন।
  • 3.ℝⁿ = n-টি বাস্তব সংখ্যার অর্ডারড টাপল = ভেক্টর।
  • 4.যুক্তির সংযোজক: ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔।
  • 5.∀ ও ∃-এর ক্রম বদলালে অর্থ বদলায়।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5} — A ∩ B = ?
উত্তর:{3, 4}।
প্রশ্ন 2।A ⊆ B এবং B ⊆ A হলে A ও B-এর সম্পর্ক?
উত্তর:A = B — দুটো সেট একই।
প্রশ্ন 3।∅ কি সব সেটের উপসেট?
উত্তর:হ্যাঁ। খালি সেটে কোনো সদস্য নেই, তাই “প্রতিটি সদস্য B-তে আছে” শর্ত স্বয়ংক্রিয়ভাবে সত্য।
প্রশ্ন 4।“∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0” — সত্য না মিথ্যা?
উত্তর:সত্য। যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“সেট ও যুক্তি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“সেট ও যুক্তি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“সেট ও যুক্তি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“সেট ও যুক্তি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4