ত্রিকোণমিতি ঝালাই
Trigonometry Refresher
sin, cos, tan কেন দরকার লিনিয়ার অ্যালজেব্রায়
≈ ১৪ মিনিট
ত্রিকোণমিতি শব্দটা শুনলেই অনেকের কপালে ভাঁজ পড়ে। কিন্তু আসলে এটি কেবল একটাই প্রশ্নের উত্তর — “একটি কোণ জানি, কিন্তু বাহু জানি না; বা একটি বাহু জানি, কিন্তু কোণ জানি না — কীভাবে বের করব?” এই প্রশ্নের উত্তরই সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট।
সমকোণী ত্রিভুজে শুরু
একটি সমকোণী ত্রিভুজ ভাবো। একটি কোণ θ বেছে নাও (সমকোণ ছাড়া)। সেই কোণের সাপেক্ষে তিনটি বাহু — সামনের বাহু (opposite), লাগোয়া বাহু (adjacent), কর্ণ (hypotenuse)।
একক বৃত্ত (Unit Circle) — আসল ছবি
মূলবিন্দু কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধ ১-এর একটি বৃত্ত আঁকো। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু P। মূলবিন্দু থেকে P পর্যন্ত যে রেখাটা, সেটি x-অক্ষের সাথে কোণ θ তৈরি করে। তাহলে বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক হলো (cos θ, sin θ)।
মূল মান কয়েকটি — মুখস্থ রাখো
পিথাগোরীয় অভেদ
একক বৃত্তের সমীকরণ x² + y² = 1। যেহেতু x = cos θ, y = sin θ, পেলাম গণিতের একটি সবচেয়ে সুন্দর সম্পর্ক।
ঘূর্ণন — যেখানে লিনিয়ার অ্যালজেব্রার সাথে দেখা
মনে করো একটি বিন্দু (x, y)-কে মূলবিন্দু ঘিরে θ কোণে ঘোরালে নতুন বিন্দু (x′, y′) কোথায় হবে? এর উত্তর সরাসরি sin ও cos দিয়ে।
তরঙ্গ হিসেবে sin ও cos
θ-কে ০ থেকে বাড়াতে বাড়াতে sin θ গ্রাফ আঁকলে পাই একটি ঢেউ — উপরে ১ পর্যন্ত যায়, নিচে −১ পর্যন্ত নামে, ২π-পর্যায়ে পুনরাবৃত্তি হয়। cos θ একই তরঙ্গ, কিন্তু একটু আগে শুরু (phase-shift)।
মূল ভাবনা
- 1.SOH-CAH-TOA — সমকোণী ত্রিভুজে তিন অনুপাত।
- 2.একক বৃত্ত = sin ও cos-এর সর্বজনীন সংজ্ঞা।
- 3.sin²θ + cos²θ = 1 — পিথাগোরাসের নতুন রূপ।
- 4.ঘূর্ণনের সূত্রই রোটেশন ম্যাট্রিক্সের জন্ম।
- 5.sin ও cos কেবল ত্রিভুজ নয় — তরঙ্গও।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।একটি সমকোণী ত্রিভুজে opp = 3, hyp = 5 হলে sin θ = ?
প্রশ্ন 2।cos 60° + sin 30° = ?
প্রশ্ন 3।(1, 0)-কে মূলবিন্দু ঘিরে 90° ঘোরালে কোথায় যায়?
প্রশ্ন 4।sin²45° + cos²45° = ?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।