রৈখিকতা কী
Linearity
f(ax + by) = af(x) + bf(y) — পুরো লিনিয়ার অ্যালজেব্রার এক বাক্যে সারাংশ
≈ ১২ মিনিট
‘লিনিয়ার’ শব্দটা শুনলে অনেকে ভাবে — সরলরেখা। কিন্তু গণিতে এর মানে আরো গভীর। লিনিয়ার মানে এমন এক আচরণ যেখানে যোগ যোগই থাকে, আর গুণ গুণই থাকে — কোনো লুকোনো বাঁক নেই। এই সরলতার মধ্যেই সমস্ত লিনিয়ার অ্যালজেব্রার শক্তি।
সংজ্ঞা
একটি ফাংশন f-কে লিনিয়ার বলা হয় যদি দুটি শর্ত পূরণ হয় — যোগশীলতা (additivity) ও সমসত্ত্বতা (homogeneity)।
এই দুইটিকে একসাথে লেখা যায় —
কোনটি লিনিয়ার, কোনটি নয়?
- f(x) = 3x — লিনিয়ার।
- f(x) = 3x + 2 — লিনিয়ার নয় (এটি affine; ধ্রুবক ২ ভাঙে)।
- f(x) = x² — লিনিয়ার নয় (f(2x) = 4x² ≠ 2f(x))।
- f(x, y) = 2x − 5y — লিনিয়ার।
- f(x) = sin(x) — লিনিয়ার নয়।
কেন f(0) = 0?
লিনিয়ারিটির শর্ত থেকে c = 0 বসালে — f(0 · x) = 0 · f(x) = 0। অর্থাৎ লিনিয়ার ফাংশন সর্বদা শূন্যকে শূন্যে পাঠায়। উৎস (origin) কখনো নড়ে না।
জ্যামিতিক ছবি
লিনিয়ার রূপান্তরে — সরলরেখা সরলরেখাই থাকে, উৎস উৎসেই থাকে, আর গ্রিড-লাইনের সমান্তরালতা ও সমদূরত্ব বজায় থাকে। তল বাঁকে না, ভাঁজে না।
লিনিয়ার সংমিশ্রণ ও লিনিয়ারিটি
f লিনিয়ার হলে যেকোনো লিনিয়ার সংমিশ্রণে এটি ‘ভেতরে ঢুকে যায়’।
মূল ভাবনা
- 1.লিনিয়ার = যোগশীল + সমসত্ত্ব।
- 2.f(ax + by) = af(x) + bf(y) — এক বাক্যে সারাংশ।
- 3.লিনিয়ার ফাংশনে f(0) = 0।
- 4.y = mx + c লিনিয়ার নয়, affine।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।f(x) = 7x লিনিয়ার?
প্রশ্ন 2।f(x) = x + 1 লিনিয়ার?
প্রশ্ন 3।f(x, y) = 3x − 2y লিনিয়ার?
প্রশ্ন 4।f(x) = |x| লিনিয়ার?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।