ট্রেস

Trace

কর্ণের যোগফল — এক ছোট্ট সংখ্যায় ম্যাট্রিক্সের গোপন স্বাক্ষর

≈ ১০ মিনিট

পুরো ম্যাট্রিক্সকে সংক্ষেপে একটি সংখ্যায় প্রকাশ করতে হলে কীভাবে করবে? সবচেয়ে সরল উত্তর — কর্ণের সংখ্যাগুলো যোগ করে দাও। এই ছোট্ট যোগফলকে বলে ট্রেস। দেখতে তুচ্ছ, কিন্তু আইগেনভ্যালু, ডেরিভেটিভ, এমনকি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রত্যাশিত মান — সব জায়গায় এর হাত।

সংজ্ঞা

একটি n × n বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর ট্রেস হলো কর্ণের উপাদানের যোগফল।

tr(A) = Σᵢ Aᵢᵢ = A₁₁ + A₂₂ + … + Aₙₙ

উদাহরণ

A = [[3,7,1],[2,5,4],[6,0,8]]

tr(A) = 3 + 5 + 8 = 16

ধর্ম

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(cA) = c · tr(A)
tr(Aᵀ) = tr(A) — ট্রান্সপোজ ট্রেস বদলায় না।
tr(AB) = tr(BA) — যদিও AB ≠ BA, ট্রেস কিন্তু সমান!

আইগেনভ্যালুর সাথে সম্পর্ক

একটি গভীর সত্য — ম্যাট্রিক্সের সব আইগেনভ্যালুর যোগফলই ট্রেস।

tr(A) = λ₁ + λ₂ + … + λₙ

তেমনি, নির্ণায়ক হলো আইগেনভ্যালুর গুণফল। অর্থাৎ ট্রেস ও নির্ণায়ক — একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের দুই বিপরীতমুখী সারাংশ।

কোথায় ব্যবহার?

মেশিন লার্নিং — লস ফাংশনের অপটিমাইজেশনে ‘trace trick’।
পরিসংখ্যান — covariance ম্যাট্রিক্সের ট্রেস = মোট বৈচিত্র্য (total variance)।
কোয়ান্টাম মেকানিক্স — পরিমাপের প্রত্যাশিত মান ⟨A⟩ = tr(ρA)।

মূল ভাবনা

1.ট্রেস = কর্ণের যোগফল।
2.শুধু বর্গ ম্যাট্রিক্সে সংজ্ঞায়িত।
3.tr(AB) = tr(BA) — সাইক্লিক ধর্ম।
4.ট্রেস = সব আইগেনভ্যালুর যোগফল।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।tr([[1,9],[8,4]]) = ?

উত্তর:1 + 4 = 5।

প্রশ্ন 2।tr(I₅) = ?

উত্তর:5 — পাঁচটি ১-এর যোগ।

প্রশ্ন 3।tr(Aᵀ) ও tr(A) — কোনটি বড়?

উত্তর:সমান। ট্রান্সপোজ কর্ণ বদলায় না।

প্রশ্ন 4।একটি 3×3 ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু 2, −1, 4 — ট্রেস কত?

উত্তর:2 + (−1) + 4 = 5।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“ট্রেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“ট্রেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“ট্রেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“ট্রেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4