ট্রান্সপোজ

Transpose

সারি ও কলাম অদলবদল — সহজ অপারেশন, গভীর তাৎপর্য

≈ ১০ মিনিট

একটি ম্যাট্রিক্সকে কর্ণ বরাবর ভাঁজ করো — সারিগুলো হয়ে যায় কলাম, কলামগুলো হয়ে যায় সারি। এই সরল ‘ভাঁজ’-কেই বলে ট্রান্সপোজ। দেখতে নিরীহ, কিন্তু ডট প্রোডাক্ট, প্রতিসম ম্যাট্রিক্স, এমনকি লিস্ট-স্কোয়ারস — সবকিছুর পেছনে এর হাত।

সংজ্ঞা

(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ

উদাহরণ

A = [[1,2,3],[4,5,6]] (2 × 3)

Aᵀ = [[1,4],[2,5],[3,6]] (3 × 2)

লক্ষ্য করো — m × n ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজ করলে হয় n × m।

ধর্ম

(Aᵀ)ᵀ = A — দু’বার ট্রান্সপোজ করলে আগের জায়গায়।
(A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
(cA)ᵀ = c · Aᵀ
(AB)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ — ক্রম উল্টে যায়, এটি লক্ষ্যণীয়!

ডট প্রোডাক্টের সাথে সম্পর্ক

কলাম-ভেক্টর হিসেবে u, v ∈ ℝⁿ-এর ডট প্রোডাক্ট লেখা যায় ম্যাট্রিক্স গুণ হিসেবে — uᵀv।

u · v = uᵀ v

বিশেষ ক্ষেত্র

Aᵀ = A হলে প্রতিসম (symmetric)।
Aᵀ = −A হলে বিপরীত-প্রতিসম (skew-symmetric)।
AᵀA সর্বদা বর্গ ও প্রতিসম — পরিসংখ্যানে covariance matrix-এর গঠন।

মূল ভাবনা

1.ট্রান্সপোজ = সারি ↔ কলাম।
2.(AB)ᵀ = BᵀAᵀ (ক্রম উল্টায়)।
3.u · v = uᵀv।
4.AᵀA সর্বদা বর্গ ও প্রতিসম।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।[[1,2,3]]ᵀ = ?

উত্তর:[[1],[2],[3]] — একটি 3×1 কলাম-ভেক্টর।

প্রশ্ন 2।A 3×5 — Aᵀ-এর আকার?

উত্তর:5 × 3।

প্রশ্ন 3।A প্রতিসম হলে Aᵀ = ?

উত্তর:Aᵀ = A।

প্রশ্ন 4।(AB)ᵀ = AᵀBᵀ — সত্য না মিথ্যা?

উত্তর:মিথ্যা। সঠিক: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“ট্রান্সপোজ” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“ট্রান্সপোজ” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“ট্রান্সপোজ” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“ট্রান্সপোজ” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4