ম্যাট্রিক্স একটি ফাংশন
Matrix as Function
ভেক্টর ইনপুট, ভেক্টর আউটপুট — ম্যাট্রিক্স মানে ক্রিয়া
≈ ১২ মিনিট
ম্যাট্রিক্সকে যদি শুধু সংখ্যার টেবিল ভাবো — তবে অর্ধেক সত্যই জানলে। আসল রূপ হলো — ম্যাট্রিক্স একটি যন্ত্র। একদিকে ভেক্টর ঢোকাও, অন্যদিকে নতুন ভেক্টর বেরোয়। এই দৃষ্টিতে দেখলেই লিনিয়ার অ্যালজেব্রার পুরো জগৎ খুলে যায়।
যন্ত্র হিসেবে ম্যাট্রিক্স
ধরি A একটি m × n ম্যাট্রিক্স। তাহলে A একটি ফাংশন — যেটি n-মাত্রিক ভেক্টরকে m-মাত্রিক ভেক্টরে পাঠায়।
উদাহরণ
R = [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]
x = [1, 0]ᵀ ইনপুট দিলে আউটপুট = [cosθ, sinθ]ᵀ
অর্থাৎ R ভেক্টরকে θ কোণে ঘোরায়।
S = [[2, 0], [0, 3]]
x = [1, 1]ᵀ → Sx = [2, 3]ᵀ
x-অক্ষে ২ গুণ, y-অক্ষে ৩ গুণ স্কেল।
ম্যাট্রিক্স ও লিনিয়ারিটি
প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি লিনিয়ার ফাংশন — এবং বিপরীতটিও সত্য। ℝⁿ থেকে ℝᵐ-এর প্রতিটি লিনিয়ার ফাংশনকে ঠিক একটি m × n ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রকাশ করা যায়।
ম্যাট্রিক্সের কলাম = বেসিসের ছবি
A-এর j-তম কলাম আসলে — A বেসিস ভেক্টর eⱼ-কে যেখানে পাঠায়, সেই ভেক্টর।
তাই ম্যাট্রিক্স দেখার একটি অসাধারণ উপায় — প্রতিটি কলাম মানে ‘মূল অক্ষগুলো রূপান্তরের পর কোথায় গেল’। এই একটি দৃষ্টি দিয়ে যেকোনো ম্যাট্রিক্সের আচরণ পড়া যায়।
সংমিশ্রণ = গুণ
প্রথমে B প্রয়োগ, তারপর A — মানে নতুন ফাংশন (A ∘ B)। ম্যাট্রিক্স ভাষায় এটি গুণফল AB। তাই ম্যাট্রিক্স গুণের ‘অদ্ভুত’ সংজ্ঞা আসলে — ফাংশন সংমিশ্রণেরই অনুবাদ।
মূল ভাবনা
- 1.ম্যাট্রিক্স = ভেক্টর → ভেক্টর ফাংশন।
- 2.A : ℝⁿ → ℝᵐ, x ↦ Ax।
- 3.প্রতিটি লিনিয়ার ফাংশন ↔ একটি ম্যাট্রিক্স।
- 4.A-এর কলাম = বেসিস ভেক্টরের রূপান্তরিত ছবি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।A 4×3 হলে এটি কোন স্থান থেকে কোন স্থানে পাঠায়?
প্রশ্ন 2।I (identity) ম্যাট্রিক্স কী করে?
প্রশ্ন 3।A = [[0,1],[1,0]] — এর ক্রিয়া?
প্রশ্ন 4।A-এর দ্বিতীয় কলাম জানলে কী জানা যায়?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।