বেসিস পরিবর্তন

Change of Basis

একই ভেক্টর, নতুন চশমা — নতুন coordinates

≈ ১১ মিনিট

একই ভেক্টর তীরটি জায়গা পাল্টায় না — কিন্তু আমরা কোন basis দিয়ে তাকাচ্ছি, সেটা পাল্টালে তার সংখ্যাগুলো (coordinates) পাল্টে যায়। এই রূপান্তরই change of basis।

মূল ধারণা

ধরো B = [b₁ b₂ ... bₙ] হলো নতুন basis-এর কলাম-ম্যাট্রিক্স। নতুন basis-এ x-এর coordinates যদি [x]_B হয়, তবে standard coordinates:

x = B [x]_{B} ⟺ [x]_{B} = B^{- 1} x

ছোট উদাহরণ

B = [[1,1],[1,-1]]। ভেক্টর x = (3, 1) (standard)। তাহলে:

[x]_{B} = B^{- 1} x = \frac{1}{2} [11 1 - 1] [31] = [21]

মানে x = 2·b₁ + 1·b₂ = 2(1,1) + (1,-1) = (3,1)। ✓

রৈখিক রূপান্তরের রূপ

যদি standard basis-এ একটি transformation A হয়, তবে নতুন basis B-তে সেটি:

A^{'} = B^{- 1} A B

এটাই similarity transformation — diagonalization-এর হৃদয়।

AI-প্রসঙ্গ

PCA = এমন B বেছে নেওয়া যেখানে ডেটার variance অক্ষ বরাবর সাজানো।
Word embedding = শব্দের জন্য একটি ‘অর্থপূর্ণ’ basis।
Fourier transform = সাইন/কোসাইন basis-এ পরিবর্তন।

মূল ভাবনা

1.x = B [x]_B এবং [x]_B = B⁻¹ x।
2.ভেক্টর একই, সংখ্যা ভিন্ন।
3.A' = B⁻¹ A B — similarity transformation।
4.ভালো basis বেছে নিলে সমস্যা সহজ হয়।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।Change of basis-এর সূত্র?

উত্তর:[x]_B = B⁻¹ x।

প্রশ্ন 2।Similarity transformation কী?

উত্তর:A' = B⁻¹ A B।

প্রশ্ন 3।Standard basis-এ B কী?

উত্তর:Identity I।

প্রশ্ন 4।কেন B invertible হওয়া দরকার?

উত্তর:Basis ভেক্টরগুলো স্বাধীন বলে।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“বেসিস পরিবর্তন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“বেসিস পরিবর্তন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“বেসিস পরিবর্তন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“বেসিস পরিবর্তন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4