মাত্রা
Dimension
একটি স্পেসকে গড়তে কয়টি স্বাধীন ভেক্টর লাগে
≈ ৮ মিনিট
Dimension হলো একটি স্পেসের সবচেয়ে মৌলিক সংখ্যা — তার ‘স্বাধীনতার ডিগ্রি’। মজার কথা: একই স্পেসের যত basis-ই নাও, সব basis-এ ভেক্টর সংখ্যা একই — সেটাই dimension।
সংজ্ঞা
dim(V) = V-এর যেকোনো basis-এ ভেক্টরের সংখ্যা।
মৌলিক উপপাদ্য
একই vector space-এর সব basis-এ সমান সংখ্যক ভেক্টর থাকে — এটা প্রমাণযোগ্য, সংজ্ঞা নয়। তাই dimension সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত।
পরিচিত মাত্রা
- dim(ℝⁿ) = n।
- dim({0}) = 0।
- একটি রেখার dim = 1, সমতলের dim = 2।
- m×n ম্যাট্রিক্সের space-এর dim = m·n।
- Pₙ (n-degree polynomial-এর space) → dim = n+1।
চার মৌলিক সাবস্পেস-এর মাত্রা (A হলো m×n)
- dim(Col A) = rank(A) = r।
- dim(Row A) = r।
- dim(Null A) = n − r।
- dim(Left Null A) = m − r।
ব্যবহারিক অর্থ
Machine learning-এ feature space-এর dimension বললে আমরা বোঝাই কয়টি স্বাধীন তথ্যের উপর মডেল কাজ করছে। অনেক ফিচার থাকলেও যদি তারা নির্ভরশীল হয়, কার্যকর dimension কম হতে পারে।
V = span{(1,2,3), (2,4,6), (1,0,1)} সাবস্পেস ℝ³-এ। dim(V) = ?
ম্যাট্রিক্স: M = [[1,2,1],[2,4,0],[3,6,1]] (ভেক্টরগুলো কলাম)।
Row-reduce M: R2 ← R2 − 2R1 → (0,0,-2)। R3 ← R3 − 3R1 → (0,0,-2)। R3 ← R3 − R2 → (0,0,0)।
Pivot সংখ্যা = 2 → rank = 2।
অতএব dim(V) = 2। তিনটি ভেক্টর দিলেও তারা একটি ২-মাত্রিক সমতল তৈরি করেছে।
মূল ভাবনা
- 1.Dimension = basis-এর আকার।
- 2.সব basis-এ ভেক্টর সংখ্যা একই।
- 3.dim(ℝⁿ) = n।
- 4.Rank-Nullity: dim(Col) + dim(Null) = n।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।dim(ℝ⁵) = ?
প্রশ্ন 2।একটি সমতলের dim?
প্রশ্ন 3।Null space খালি (শুধু 0) হলে dim?
প্রশ্ন 4।Rank 3 হলে dim(Col A)?
প্রশ্ন 5।ℝ⁴-এ একটি ২-মাত্রিক সাবস্পেস-এর basis-এ কতগুলো ভেক্টর?
প্রশ্ন 6।Rank-Nullity দিয়ে: A হলো 5×8, rank = 3 — Null space-এর মাত্রা?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।