স্ট্যান্ডার্ড বেসিস
Standard Basis
ê₁, ê₂, ... — সবচেয়ে স্বাভাবিক বর্ণমালা
≈ ৭ মিনিট
ℝⁿ-এ একটি basis সবার পরিচিত — অক্ষ বরাবর একক ভেক্টরগুলো। এগুলো এতই সরল যে আমরা প্রায়ই ভুলে যাই — এগুলোও একটি ‘choice’, একমাত্র সত্য নয়।
সংজ্ঞা
ℝⁿ-এ standard basis = {ê₁, ê₂, ..., êₙ}।
কেন ‘standard’
- প্রতিটি ভেক্টরের coordinates সরাসরি তার entries।
- (3, -2, 5) = 3ê₁ − 2ê₂ + 5ê₃ — কোন গণনা নেই।
- ম্যাট্রিক্স I = [ê₁ ê₂ ... êₙ]।
ম্যাট্রিক্সের কলাম = Aê_i
যেকোনো A-এর i-তম কলাম = Aê_i। অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স standard basis ভেক্টরদের কোথায় পাঠায়, সেটাই তার কলাম।
অন্য basis কেন দরকার
Standard basis সরল, কিন্তু সমস্যার ‘স্বাভাবিক অক্ষ’ সবসময় x, y না-ও হতে পারে। ডেটার প্রকৃত দিক বরাবর basis নিলে গণনা সহজ হয় — এটাই PCA / eigenbasis-এর মূল।
ℝ³-এ v = (4, -2, 7) দেওয়া। Standard basis-এ লেখো।
ê₁ = (1,0,0), ê₂ = (0,1,0), ê₃ = (0,0,1)।
v = 4·ê₁ + (-2)·ê₂ + 7·ê₃ = 4ê₁ − 2ê₂ + 7ê₃।
অর্থাৎ entries-গুলোই coordinates — কোনো বাড়তি গণনা নেই।
Matrix-vector ব্যাখ্যা: A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] হলে A·ê₂ = A-এর ২য় কলাম = (2, 5, 8)।
মূল ভাবনা
- 1.ê_i = i-তম স্থানে ১, বাকি ০।
- 2.ℝⁿ-এ standard basis-এ coordinates = entries।
- 3.A-এর কলাম = Aê_i।
- 4.সমস্যা অনুযায়ী ভিন্ন basis নেওয়া যায়।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।ℝ⁴-এ ê₃ লেখো।
প্রশ্ন 2।Aê₂ মানে কী?
প্রশ্ন 3।(5, 7) standard basis-এ?
প্রশ্ন 4।Standard basis ম্যাট্রিক্স কী?
প্রশ্ন 5।A = [[2, -1], [3, 4]] হলে Aê₁ কত?
প্রশ্ন 6।Standard basis কি একমাত্র orthonormal basis?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।