← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 8.5
স্প্যান
Span
কতদূর পৌঁছানো যায় — কয়েকটি ভেক্টর দিয়ে
≈ ৯ মিনিট
কয়েকটি ভেক্টর হাতে — যত রকম রৈখিক সমষ্টি বানানো সম্ভব, তার সব মিলিয়ে যে স্পেস তৈরি হয়, সেটাই span। এটাই আগামী অধ্যায়ের basis-এর পথ।
সংজ্ঞা
Span সবসময় একটি subspace — closed under addition ও scalar multiplication।
জ্যামিতিক উদাহরণ
- Span((1,0)) = x-অক্ষ — একটি রেখা।
- Span((1,0), (0,1)) = পুরো ℝ²।
- Span((1,0,0), (0,1,0)) = ℝ³-এর xy-সমতল।
- Span((1,2), (2,4)) = একটি রেখা (নির্ভরশীল, তাই বাড়ে না)।
Span vs Column Space
Col(A) = A-এর কলামগুলোর span। তাই কলাম স্পেস আসলে span-এরই অন্য নাম।
কখন span পুরো ℝⁿ
- n-টি স্বাধীন ভেক্টর থাকলে।
- ম্যাট্রিক্স আকারে: rank = n।
- কম হলে span একটি ছোট subspace-এ আটকে।
স্বাধীনতা ও span-এর জুটি
- স্বাধীন কিন্তু span ছোট — basis নয়, ‘অপূর্ণ’।
- Span পুরো কিন্তু নির্ভরশীল — basis নয়, ‘অতিরিক্ত’।
- স্বাধীন এবং span পুরো — basis।
ছোট চেক
b ∈ Span(v₁, ..., v_k) কিনা — A = [v₁ ... v_k] বানিয়ে Ax = b solvable কিনা দেখো।
মূল ভাবনা
- 1.Span = সব রৈখিক সমষ্টির সেট, সবসময় subspace।
- 2.Col(A) = কলামগুলোর span।
- 3.n স্বাধীন ভেক্টর = ℝⁿ-এর পূর্ণ span।
- 4.Span + স্বাধীনতা = basis (পরের অধ্যায়)।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Span কি subspace?
উত্তর:হ্যাঁ, সবসময়।
প্রশ্ন 2।Span((1,2), (2,4)) = ?
উত্তর:একটি রেখা (দুজন নির্ভরশীল)।
প্রশ্ন 3।ℝ³-এর span পেতে কয়টি স্বাধীন ভেক্টর দরকার?
উত্তর:৩টি।
প্রশ্ন 4।Col(A) আর span-এর সম্পর্ক?
উত্তর:Col(A) = A-এর কলামগুলোর span।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“স্প্যান” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“স্প্যান” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“স্প্যান” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“স্প্যান” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4