রৈখিক স্বাধীনতা
Linear Independence
কেউ কাউকে কপি করে না — প্রত্যেকে নতুন তথ্য আনে
≈ ১০ মিনিট
একদল ভেক্টরের মধ্যে যদি কেউ অন্যদের রৈখিক সমষ্টি হয়, সে ‘অতিরিক্ত’। স্বাধীনতা মানে — কেউই অতিরিক্ত নয়।
সংজ্ঞা
v₁, ..., v_k রৈখিকভাবে স্বাধীন, যদি একমাত্র সমাধান:
অন্য কোনো অশূন্য c-সমষ্টি 0 দিতে পারলে — নির্ভরশীল।
ম্যাট্রিক্স ভাষায়
ভেক্টরগুলোকে A-এর কলাম বানাও। তাহলে স্বাধীন ⇔ Ax = 0-এর একমাত্র সমাধান x = 0 ⇔ N(A) = {0} ⇔ rank(A) = k।
উদাহরণ
- (1,0), (0,1) — স্বাধীন।
- (1,2), (2,4) — নির্ভরশীল (দ্বিতীয়টি প্রথমের ২ গুণ)।
- (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0) — নির্ভরশীল (তৃতীয় = প্রথম + দ্বিতীয়)।
দ্রুত পরীক্ষা
- বর্গাকার A হলে: det(A) ≠ 0 ⇔ স্বাধীন।
- যেকোনো A হলে: RREF নাও — pivot সংখ্যা = k হলে স্বাধীন।
- k > n হলে ℝⁿ-এ কখনোই স্বাধীন হতে পারে না (pigeonhole)।
জ্যামিতিক অর্থ
- ২টি ভেক্টর স্বাধীন ⇔ একই রেখায় নেই।
- ৩টি ভেক্টর ℝ³-এ স্বাধীন ⇔ একই সমতলে নেই।
- নির্ভরশীল মানে — তাদের span ছোট মাত্রায় আটকে।
ভেক্টর: v₁ = (1, 2, 1), v₂ = (2, 4, 3), v₃ = (1, 2, 0)।
ম্যাট্রিক্স গঠন: A = [v₁ | v₂ | v₃] = [[1,2,1],[2,4,2],[1,3,0]]। (Row 1 থেকে Row 2 = 2·Row 1 → v₂ ≠ 2v₁ পুরোপুরি কারণ ৩য় ঘরে 3 ≠ 2)।
Row reduce: R2 ← R2 − 2R1 → (0, 0, 0)। R3 ← R3 − R1 → (0, 1, -1)।
নতুন রূপ: [[1,2,1],[0,0,0],[0,1,-1]]। একটি শূন্য সারি — মানে rank < 3।
সিদ্ধান্ত: v₁, v₂, v₃ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। প্রকৃত সম্পর্ক: v₂ − 2v₁ − 0·v₃ = (0, 0, 1) — এটা সরাসরি শূন্য নয়, তাই আবার চেক — সঠিক সম্পর্ক বের করতে Null(A) দেখো।
ছোট সংস্করণে: যদি v₂ = 2v₁ হতো, তবে c₁ = -2, c₂ = 1, c₃ = 0 দিয়ে c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ = 0 হতো।
মূল ভাবনা
- 1.সমষ্টি = 0 শুধু trivial c-তে ⇒ স্বাধীন।
- 2.নির্ভরশীল মানে কেউ একজন বাকিদের কপি।
- 3.Det ≠ 0, full rank, N(A) = {0} — সব সমার্থক।
- 4.k > n হলে ℝⁿ-এ অসম্ভব।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।স্বাধীনতার সংজ্ঞা?
প্রশ্ন 2।(1,2) ও (3,6) — স্বাধীন?
প্রশ্ন 3।৪টি ভেক্টর ℝ³-এ কি স্বাধীন হতে পারে?
প্রশ্ন 4।Det = 0 মানে?
প্রশ্ন 5।v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1), v₃ = (3, 5) — স্বাধীন?
প্রশ্ন 6।ℝ³-এ ৪টি ভেক্টরের সর্বোচ্চ rank কত?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।