← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 8.3
কলাম, সারি, নাল স্পেস
Column, Row, and Null Space — The Four Fundamental Subspaces
একটি ম্যাট্রিক্স মানেই চারটি subspace — পুরো গল্প
≈ ১৩ মিনিট
Gilbert Strang বলেন: linear algebra-র অর্ধেক দখলে আসে যখন এই চারটি subspace মাথায় বসে যায়। A-এর প্রতিটি গোপন রহস্য এদের মধ্যেই লুকানো।
Column Space — Col(A)
A-এর কলামগুলোর সব রৈখিক সমষ্টি। ℝᵐ-এর subspace।
Ax = b solvable ⇔ b ∈ Col(A)। মাত্রা = rank(A)।
Row Space — Row(A)
A-এর সারিগুলোর সব রৈখিক সমষ্টি। ℝⁿ-এর subspace। = Col(Aᵀ)। মাত্রা = rank(A) (column rank = row rank)।
Null Space — N(A)
Ax = 0-এর সব সমাধান। ℝⁿ-এর subspace। মাত্রা = n − rank(A) (nullity)।
Left Null Space — N(Aᵀ)
ℝᵐ-এর subspace। মাত্রা = m − rank(A)।
Rank–Nullity Theorem
অর্থোগোনাল জুটি
- Row(A) ⟂ N(A) — দুজনে মিলে ℝⁿ।
- Col(A) ⟂ N(Aᵀ) — দুজনে মিলে ℝᵐ।
RREF থেকে চারটি বের করা
- Pivot কলাম (মূল A থেকে) → Col(A)-এর basis।
- RREF-এর অশূন্য সারি → Row(A)-এর basis।
- Free variable parametrization → N(A)-এর basis।
- [A | I] reduce করে I-এর অংশে শূন্য সারির y → N(Aᵀ)।
মূল ভাবনা
- 1.চারটি মৌলিক subspace = A-র সম্পূর্ণ ছবি।
- 2.Col ও Row-এর মাত্রা সমান = rank।
- 3.Rank + nullity = n।
- 4.Row ⟂ Null, Col ⟂ Left-null।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Ax = b solvable হওয়ার শর্ত?
উত্তর:b ∈ Col(A)।
প্রশ্ন 2।Rank-nullity সূত্র?
উত্তর:rank(A) + nullity(A) = n।
প্রশ্ন 3।Row space কোন স্পেসের subspace?
উত্তর:ℝⁿ।
প্রশ্ন 4।Null space-এর সাথে orthogonal কোনটি?
উত্তর:Row space।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“কলাম, সারি, নাল স্পেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“কলাম, সারি, নাল স্পেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“কলাম, সারি, নাল স্পেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“কলাম, সারি, নাল স্পেস” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4