সাবস্পেস

সংজ্ঞা

V-এর একটি subset W একটি subspace, যদি W নিজেও V-এর অপারেশনে vector space হয়।

সংক্ষিপ্ত পরীক্ষা — মাত্র ৩টি শর্ত

1. 0 ∈ W (শূন্য vector আছে)।
2. u, v ∈ W ⇒ u + v ∈ W (যোগে closed)।
3. c ∈ ℝ, v ∈ W ⇒ c·v ∈ W (scalar-গুণে closed)।

তুচ্ছ ও পূর্ণ

• {0} — সবচেয়ে ছোট subspace।
• V নিজে — সবচেয়ে বড় subspace।

ℝ³-এর সব subspace

• {0} — শূন্য মাত্রা।
• Origin দিয়ে যাওয়া যেকোনো রেখা — ১ মাত্রা।
• Origin দিয়ে যাওয়া যেকোনো সমতল — ২ মাত্রা।
• ℝ³ নিজে — ৩ মাত্রা।

Origin না হলে — subspace নয় (0 মিস)।

গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ

• Null space N(A) = {x : Ax = 0} — ℝⁿ-এর subspace।
• Column space Col(A) — ℝᵐ-এর subspace।
• Row space — ℝⁿ-এর subspace।
• Span(v₁, ..., v_k) — সবসময় subspace।

Intersection vs Union

• দুটি subspace-এর ছেদ (∩) — সবসময় subspace।
• যোগফল (sum) W₁ + W₂ — subspace।
• Union (∪) — সাধারণত subspace নয়।