সংজ্ঞা ও স্বতঃসিদ্ধ

Vector Space কী

একটি set V আর scalar field F (সাধারণত ℝ), দুটি অপারেশন: যোগ (u + v) ও scalar-গুণ (c·v)। যদি নিচের ১০টি স্বতঃসিদ্ধ মেনে চলে — V একটি vector space।

যোগের ৫টি স্বতঃসিদ্ধ

1. Closure: u + v ∈ V।
2. Commutativity: u + v = v + u।
3. Associativity: (u + v) + w = u + (v + w)।
4. Zero vector: এমন 0 আছে যে v + 0 = v।
5. Inverse: প্রতিটি v-এর জন্য −v আছে, v + (−v) = 0।

Scalar-গুণের ৫টি স্বতঃসিদ্ধ

1. Closure: c·v ∈ V।
2. 1·v = v।
3. (cd)·v = c·(d·v)।
4. c·(u + v) = c·u + c·v।
5. (c + d)·v = c·v + d·v।

পরিচিত উদাহরণ

• ℝⁿ — সাধারণ n-tuple।
• M_{m×n}(ℝ) — সব m×n ম্যাট্রিক্স।
• P_n — ≤ n ডিগ্রির সব পলিনোমিয়াল।
• C[a,b] — [a,b]-তে continuous সব ফাংশন।
• Solution set of Ax = 0 — null space।

Non-example — কেন নয়

ℝ²-এ শুধু প্রথম quadrant — closure ভঙ্গ হয় (negation বের হয়ে যায়)। তাই vector space নয়।

Field-এর ভূমিকা

Scalar ℝ হলে real vector space, ℂ হলে complex। সিগন্যাল প্রসেসিং-এ ℂ-ই বেশি স্বাভাবিক।