ক্রেমারের নিয়ম
Cramer's Rule
ডিটারমিন্যান্ট দিয়ে সরাসরি সমাধান — সুন্দর কিন্তু ধীর
≈ ৮ মিনিট
শুধু ডিটারমিন্যান্ট ব্যবহার করেই Ax = b-এর প্রতিটি x_i আলাদা সূত্রে বের করা যায়। তাত্ত্বিকভাবে চমৎকার — বাস্তবে বড় সিস্টেমে অকার্যকর।
সূত্র
A বর্গাকার এবং det(A) ≠ 0 হলে:
যেখানে A_i = A-এর i-তম কলামকে b দিয়ে প্রতিস্থাপিত ম্যাট্রিক্স।
উদাহরণ — ২×২
কেন কাজ করে
ডিটারমিন্যান্টের multilinearity ব্যবহার করে A_i-এর i-তম কলামে b-কে A-এর কলামের রৈখিক সমষ্টি হিসেবে ভাঙলে — সব পদ বাদে শুধু x_i·det(A) টিকে থাকে।
সীমাবদ্ধতা
- n × n-এর জন্য (n+1) টি ডিটারমিন্যান্ট দরকার — cofactor সম্প্রসারণে প্রতিটির খরচ O(n!), তাই মোট O(n · n!); Gaussian elimination দিয়ে det বের করলে প্রতিটি O(n³), মোট O(n⁴) — যেখানে সরাসরি Ax = b সমাধান O(n³)। তাই Cramer বাস্তবে কেবল ছোট n-এর জন্যই দরকারী।
- Numerical instability — ছোট det(A)-এ ভুল বড় হয়।
- Singular A-এ অকেজো।
তাত্ত্বিক গুরুত্ব
- Adjugate সূত্রের সরাসরি ফল: A⁻¹ = adj(A)/det(A)।
- Sensitivity analysis-এ x-এর সাথে A-এর entry-র সম্পর্ক স্পষ্ট।
- Symbolic computation-এ (যেখানে সংখ্যা পরিবর্তে চলক) এখনো জনপ্রিয়।
সিস্টেম: x + y + z = 6, 2x − y = 0, x + 2z = 7।
A = [[1,1,1],[2,−1,0],[1,0,2]], det(A) = 1·(−2−0) − 1·(4−0) + 1·(0+1) = −5।
A₁ ([6,0,7] বসিয়ে): det = −10 ⇒ x = 2।
একইভাবে y = 4, z = 0 (যাচাই: 2+4+0=6 ✓)।
মূল ভাবনা
- 1.x_i = det(A_i)/det(A) — সরাসরি সূত্র।
- 2.A_i = i-তম কলাম b দিয়ে প্রতিস্থাপিত।
- 3.তাত্ত্বিকভাবে সুন্দর, কম্পিউটেশনে ধীর।
- 4.Adjugate-inverse সূত্রের ভিত্তি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।A_i কী?
প্রশ্ন 2।শর্ত কখন প্রযোজ্য?
প্রশ্ন 3।ক্রেমার বনাম LU — কোনটা দ্রুত?
প্রশ্ন 4।x = det(A_x)/det(A) দিয়ে x বের করো যদি det(A)=2, det(A_x)=6।
প্রশ্ন 5।Cramer’s rule কখন প্রযোজ্য?
প্রশ্ন 6।Cramer-এর সময় জটিলতা?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।