← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 7.4
LU বিভাজন
LU Decomposition
A = LU — একবার ভাঙো, বহুবার সমাধান করো
≈ ১১ মিনিট
একই A দিয়ে যদি বহু b-এর জন্য Ax = b সমাধান করতে হয় — প্রতিবার গাউস চালানো অপচয়। বরং A-কে একবার L আর U-তে ভেঙে নাও — তারপর সব b-এর জন্য কাজটা সস্তা।
ধারণা
A = L\, U
- L = lower triangular, কর্ণে 1।
- U = upper triangular (Gaussian elimination-এর ফল)।
Gaussian elimination-এর সময় যে গুণিতকগুলো (multipliers) ব্যবহার করো, সেগুলোই L-এর entry।
সমাধান দুই ধাপে
- Ly = b সমাধান করো — forward substitution, O(n²)।
- Ux = y সমাধান করো — back substitution, O(n²)।
মোট: একবার O(n³) করে A = LU, তারপর প্রতিটি নতুন b-র জন্য মাত্র O(n²)।
ছোট উদাহরণ
PA = LU (Pivoting সহ)
যদি pivot বাছতে সারি অদলবদল লাগে, একটি permutation ম্যাট্রিক্স P যোগ হয়:
P A = L U
কোথায় কাজে লাগে
- Multiple right-hand sides — same A।
- ইনভার্স গণনা — A·X = I সমাধান (X = A⁻¹)।
- Determinant: det(A) = ± ∏ u_{ii} (চিহ্ন P থেকে)।
- Sparse / structured matrices-এ বিশেষ দ্রুত।
সম্পর্কিত বিভাজন
- Cholesky: A symmetric positive-definite হলে A = LLᵀ — অর্ধেক কাজ।
- QR: A = QR — least-squares-এ স্থিতিশীল।
- SVD: A = UΣVᵀ — সবচেয়ে শক্তিশালী, পরে আসবে।
মূল ভাবনা
- 1.A = LU — গাউসের কাজ ‘মনে রাখা’।
- 2.একবার ভাঙো, বহু b-এ পুনঃব্যবহার।
- 3.Pivoting দরকার হলে PA = LU।
- 4.det(A) ও inverse — দুটোই LU থেকে সহজ।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।L-এর কর্ণে কী থাকে?
উত্তর:1।
প্রশ্ন 2।Multiple b-এর জন্য সুবিধা কী?
উত্তর:LU একবার, পরে প্রতিটি b মাত্র O(n²)।
প্রশ্ন 3।Pivoting দরকার হলে রূপ?
উত্তর:PA = LU।
প্রশ্ন 4।det(A) LU থেকে কীভাবে?
উত্তর:U-এর কর্ণের গুণফল × P-এর চিহ্ন।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“LU বিভাজন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“LU বিভাজন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“LU বিভাজন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“LU বিভাজন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4