← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 7.2
গাউস এলিমিনেশন
Gaussian Elimination
ধাপে ধাপে সরলীকরণ — উপরের ত্রিভুজ পর্যন্ত
≈ ১২ মিনিট
জটিল সিস্টেমকে ‘উপরের ত্রিভুজ’ আকারে নামিয়ে আনলে — শেষ সমীকরণ থেকে শুরু করে এক এক করে সবকিছু বেরিয়ে আসে। এটাই সবচেয়ে পুরোনো ও সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য সমাধান কৌশল।
তিনটি Elementary Row Operations
- দুটি সারি অদলবদল করা।
- একটি সারিকে অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ করা।
- একটি সারির গুণিতক অন্য সারিতে যোগ করা।
এই তিনটি অপারেশন সমাধান-সেট অপরিবর্তিত রাখে।
অ্যালগরিদম — Forward Elimination
- প্রথম কলামে একটি pivot বাছো (সাধারণত সবচেয়ে বড় absolute value — partial pivoting)।
- সেই pivot ব্যবহার করে নিচের সব সারির প্রথম কলাম শূন্য করো।
- পরবর্তী কলামে যাও, পরের সারিতে নতুন pivot — আবার নিচের সব শূন্য করো।
- যতক্ষণ পর্যন্ত উপরের ত্রিভুজ U না পাও।
Back Substitution
U পেয়ে গেলে শেষ সমীকরণ থেকে শুরু — সরাসরি x_n বের হয়, তারপর x_{n-1}, এভাবে উপরে উঠতে থাকো।
ছোট উদাহরণ
Back-sub: y = 1, তারপর 2x + 1 = 5 ⇒ x = 2।
জটিলতা ও সতর্কতা
- n×n সিস্টেমের কাজ O(n³)।
- Pivot ≈ 0 হলে numerical instability — partial pivoting বাধ্যতামূলক।
- শূন্য সারি এলে — হয় অসীম সমাধান, নয় inconsistent।
মূল ভাবনা
- 1.Row operations সমাধান-সেট বদলায় না।
- 2.Forward elimination → upper triangular U।
- 3.Back substitution → সমাধান x।
- 4.Partial pivoting numerical stability-র জন্য জরুরি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Elementary row operations কয়টি?
উত্তর:তিনটি।
প্রশ্ন 2।Forward elimination শেষে ম্যাট্রিক্সের আকৃতি?
উত্তর:Upper triangular।
প্রশ্ন 3।Pivot শূন্যের কাছাকাছি হলে কী করি?
উত্তর:সারি অদলবদল করি (partial pivoting)।
প্রশ্ন 4।Gaussian-এর জটিলতা?
উত্তর:O(n³)।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“গাউস এলিমিনেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“গাউস এলিমিনেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“গাউস এলিমিনেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“গাউস এলিমিনেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4