তিন জ্যামিতিক রূপ
Three Geometric Cases of Ax = b
এক সমাধান, অসীম সমাধান, না কোনো সমাধান — ছবি দিয়ে বোঝা
≈ ৯ মিনিট
দুটো সরলরেখা — হয় এক বিন্দুতে কাটে, নয় মিলে যায়, নয় কখনোই মেলে না। লিনিয়ার সমীকরণের পুরো গল্পটা এই তিন ছবির মধ্যেই বাঁধা।
Ax = b মানে কী
প্রতিটি সারি একেকটি সমীকরণ — একেকটি hyperplane (২D-তে রেখা, ৩D-তে সমতল)। সমাধান x সেই বিন্দু যেখানে সবগুলো একসাথে মেলে।
কেস ১ — একটিমাত্র সমাধান
রেখাগুলো ঠিক এক বিন্দুতে কাটে। এই অবস্থায় A-এর কলামগুলো রৈখিকভাবে স্বাধীন, det(A) ≠ 0, এবং A invertible।
কেস ২ — অসীম সমাধান
রেখাগুলো একে অপরের ওপর বসে যায় — পুরো রেখা জুড়েই সমাধান। A-এর কলামগুলো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, কিন্তু b কলাম-স্পেসে আছে।
কেস ৩ — কোনো সমাধান নেই
রেখাগুলো সমান্তরাল কিন্তু আলাদা — কখনো মেলে না। b কলাম-স্পেসের বাইরে।
তিন কেস এক টেবিলে
- rank(A) = rank([A|b]) = n → এক সমাধান।
- rank(A) = rank([A|b]) < n → অসীম সমাধান।
- rank(A) < rank([A|b]) → কোনো সমাধান নেই।
কেস ১: x + y = 3, x − y = 1 ⇒ rank = 2, det = −2 ≠ 0 ⇒ একক সমাধান (2, 1)।
কেস ২: x + y = 3, 2x + 2y = 6 ⇒ একই রেখা ⇒ অসীম সমাধান (free variable)।
কেস ৩: x + y = 3, x + y = 5 ⇒ সমান্তরাল ⇒ কোনো সমাধান নেই।
মূল ভাবনা
- 1.সমাধানের সংখ্যা = জ্যামিতিক ছেদের গঠন।
- 2.rank তুলনা দিয়েই তিন কেস আলাদা করা যায়।
- 3.অসীম সমাধান = মুক্ত চলকের subspace।
- 4.Inconsistent সিস্টেমে least-squares-ই উদ্ধার।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।det(A) ≠ 0 হলে কোন কেস?
প্রশ্ন 2।rank(A) < rank([A|b]) মানে?
প্রশ্ন 3।মুক্ত চলক ২টি হলে সমাধান-সেট কী?
প্রশ্ন 4।Inconsistent হলে কী ব্যবহার করি?
প্রশ্ন 5।কেস ২-তে কতগুলো মুক্ত চলক?
প্রশ্ন 6।Inconsistent কেসে rank সম্পর্ক?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।