সিউডো-ইনভার্স

কেন দরকার

• A আয়তাকার (m ≠ n) — সাধারণ ইনভার্স অর্থহীন।
• A বর্গাকার কিন্তু singular।
• Ax = b-এর সঠিক সমাধান নেই, কিন্তু ‘least-squares’ approximate চাই।

এই সব অবস্থায় Moore-Penrose pseudo-inverse A⁺ ব্যবহৃত হয়।

সংজ্ঞা — চারটি শর্ত

1. A A⁺ A = A
2. A⁺ A A⁺ = A⁺
3. (A A⁺)ᵀ = A A⁺
4. (A⁺ A)ᵀ = A⁺ A

প্রতিটি A-এর জন্য ঠিক একটিই A⁺ এই চার শর্ত মেটায়।

দুটি বিশেষ রূপ

A লম্বা (m > n), পূর্ণ কলাম-র‍্যাঙ্ক হলে:

A চওড়া (m < n), পূর্ণ সারি-র‍্যাঙ্ক হলে:

Least-squares সমাধান

Ax = b-এর সঠিক সমাধান না থাকলে — আমরা চাই ‖Ax − b‖ সবচেয়ে ছোট করা x। উত্তর:

প্রয়োগ

• Linear regression — w = (XᵀX)⁻¹Xᵀy আসলে w = X⁺y।
• Recommendation systems — অসম্পূর্ণ ম্যাট্রিক্সের approximate inverse।
• Computer vision — overdetermined সমীকরণে best-fit।
• Neural networks — কিছু solver-এ initialization।

ধর্ম

• A invertible হলে A⁺ = A⁻¹।
• (A⁺)⁺ = A।
• (Aᵀ)⁺ = (A⁺)ᵀ।
• Rank A = Rank A⁺।