গাউস-জর্ডান পদ্ধতি
Gauss-Jordan Method
যেকোনো আকারের ইনভার্স — সারি-অপারেশনে
≈ ১২ মিনিট
৩×৩, ৪×৪, ১০০×১০০ — যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স একই কৌশলে: [A | I] লিখে A-কে I বানাও — তখন ডান দিকে দাঁড়িয়ে থাকে A⁻¹।
ধারণা
A-কে I-তে পরিণত করতে যে সারি-অপারেশন লাগে — সেই একই অপারেশন I-এর উপর প্রয়োগ করলে I হয়ে যায় A⁻¹। এজন্য পাশাপাশি রেখে [A | I] লিখি।
অনুমোদিত সারি-অপারেশন
- দুটি সারি অদলবদল।
- একটি সারিকে অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ।
- একটি সারির গুণিতক অন্য সারিতে যোগ।
উদাহরণ — ৩×৩ (ধাপে ধাপে)
ধরি A = [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 2]]। [A | I] লিখি:
ধাপ ১ — R1 → R1/2 (pivot ১ করা):
ধাপ ২ — R2 → R2 − R1 (R1-এর নিচের ঘর শূন্য):
ধাপ ৩ — R2 → (2/5) R2, এরপর R3 → R3 − R2:
ধাপ ৪ — R3 → (5/8) R3, তারপর R2 → R2 − (2/5) R3 এবং R1 → R1 − (1/2) R2। চূড়ান্ত ফলাফল:
যাচাই: A · A⁻¹ গুণ করলে I পাওয়া যায়।
কখন কাজ করে না
যদি কোনো এক ধাপে কোনো সারি সম্পূর্ণ শূন্য হয়ে যায় (বাম পাশে) — A singular, ইনভার্স নেই। এটি det = 0-এর সারি-ভিত্তিক ছবি।
Computational জটিলতা
- Gauss-Jordan: O(n³) operations।
- বড় ম্যাট্রিক্সে — সরাসরি A⁻¹ বের করার চেয়ে Ax = b সরাসরি সমাধান করাই দ্রুত।
- Numerical ভাবে LU বা QR বিভাজন বেশি স্থিতিশীল।
মূল ভাবনা
- 1.[A | I] → সারি-অপারেশন → [I | A⁻¹]।
- 2.তিনটি অনুমোদিত অপারেশন।
- 3.শূন্য সারি এলে — singular।
- 4.কোডে A⁻¹ আলাদা না বের করে Ax = b সরাসরি সমাধান করো।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।[A | I] পদ্ধতির শেষে বাম দিকে কী থাকার কথা?
প্রশ্ন 2।কোন অপারেশন det বদলায় না?
প্রশ্ন 3।মাঝপথে শূন্য সারি এলে?
প্রশ্ন 4।n×n-এর জটিলতা?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।