← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 6.2
কখন বিদ্যমান?
When does Inverse Exist?
Singular বনাম Non-singular — একই গল্পের ছয় ভাষা
≈ ১০ মিনিট
একটি ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স আছে কি না — এই প্রশ্নের ছয়টি ভিন্ন উত্তর আছে, কিন্তু সবগুলো একই কথা বলে। এই সমতাগুলোর নাম ‘Invertible Matrix Theorem’।
মূল সমতা
n × n ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য — নিচের সব বিবৃতি হয় একসাথে সত্য, নয়তো একসাথে মিথ্যা:
- A invertible (A⁻¹ আছে)।
- det(A) ≠ 0।
- A-এর কলামগুলো রৈখিকভাবে স্বাধীন।
- A-এর সারিগুলো রৈখিকভাবে স্বাধীন।
- rank(A) = n (পূর্ণ র্যাঙ্ক)।
- Ax = 0-এর একমাত্র সমাধান x = 0।
- Ax = b-এর প্রতিটি b-এর জন্য ঠিক একটি সমাধান।
- A-এর কোনো eigenvalue শূন্য নয়।
Singular-এর জ্যামিতি
A singular মানে — তল মাত্রা হারিয়ে রেখা বা বিন্দুতে চাপা পড়েছে। অনেক ইনপুট একই আউটপুটে যায়, তাই ‘উল্টোপথ’ অস্পষ্ট। তথ্য চিরতরে হারায়।
উদাহরণ
Singular উদাহরণ
A = [[1, 2], [2, 4]] — দ্বিতীয় সারি প্রথমটির ২ গুণ।
det = 4 − 4 = 0।
কলাম [1, 2]ᵀ ও [2, 4]ᵀ একই রেখায়।
পুরো তল [1, 2]ᵀ-এর রেখায় চাপা পড়ে।
Non-singular-এর জ্যামিতি
- কলামগুলো পুরো ℝⁿ স্প্যান করে।
- তলের কোনো বিন্দু চাপা পড়ে না।
- প্রতিটি আউটপুট থেকে ঠিক একটি ইনপুট ফিরে পাওয়া যায়।
মূল ভাবনা
- 1.Invertible ⇔ det ≠ 0 ⇔ পূর্ণ র্যাঙ্ক ⇔ স্বাধীন কলাম/সারি।
- 2.Singular মানে মাত্রা হারানো; তথ্য মুছে যায়।
- 3.Ax = 0-এর কেবল trivial সমাধান থাকলেই A invertible।
- 4.শুধু বর্গাকার ম্যাট্রিক্সে প্রযোজ্য।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।det(A) = 0 — A কি invertible?
উত্তর:না।
প্রশ্ন 2।rank(A) = n হলে?
উত্তর:Invertible।
প্রশ্ন 3।[[1, 2], [2, 4]] কি invertible?
উত্তর:না — det = 0।
প্রশ্ন 4।Ax = 0-এর শুধু x = 0 সমাধান — A invertible?
উত্তর:হ্যাঁ।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“কখন বিদ্যমান?” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“কখন বিদ্যমান?” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“কখন বিদ্যমান?” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“কখন বিদ্যমান?” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4