ইনভার্স কী?
What is an Inverse?
রূপান্তরকে পেছনে ফিরিয়ে আনার যন্ত্র
≈ ১০ মিনিট
যদি A তলকে ঘুরিয়ে-টেনে নতুন জায়গায় নিয়ে যায় — A⁻¹ সেই কাজটি ঠিক উল্টো করে আগের জায়গায় ফিরিয়ে আনে। দুটি একসাথে প্রয়োগ মানে — কিছুই হয়নি।
সংজ্ঞা
I হলো identity ম্যাট্রিক্স — ‘কিছু না করার’ রূপান্তর। A⁻¹ মানে A-এর জ্যামিতিক ক্রিয়ার ঠিক বিপরীত।
ফাংশনের সাথে মিল
y = f(x)-এর ইনভার্স x = f⁻¹(y) — আউটপুট থেকে ইনপুট ফিরে পাওয়া। ম্যাট্রিক্সেও তাই: b = Av থেকে v = A⁻¹b।
জ্যামিতিক ছবি
- ঘূর্ণন R(θ)-এর ইনভার্স R(−θ) — উল্টোদিকে ঘোরাও।
- স্কেলিং diag(2, 3)-এর ইনভার্স diag(1/2, 1/3)।
- প্রতিফলনের ইনভার্স সে নিজেই (M·M = I)।
- অভিক্ষেপের কোনো ইনভার্স নেই — তথ্য চিরতরে হারিয়েছে।
ধর্ম
- (A⁻¹)⁻¹ = A — উল্টোর উল্টো নিজে।
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — মোজা-জুতো নিয়ম।
- (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ।
- det(A⁻¹) = 1/det(A)।
সিস্টেম: 2x + y = 5, x − 3y = -8।
ম্যাট্রিক্স রূপ Ax = b: A = [[2, 1], [1, -3]], x = (x, y), b = (5, -8)।
বিকল্প পাঠ — কলাম দৃষ্টি: x·(2, 1) + y·(1, -3) = (5, -8)। অর্থাৎ A-এর কলামদের কোন রৈখিক সংমিশ্রণ b দেবে?
সমাধান: x = 1, y = 3 দিলে — 1·(2,1) + 3·(1,-3) = (2+3, 1-9) = (5, -8) ✓।
মূল ভাবনা
- 1.A·A⁻¹ = I; ইনভার্স মানে উল্টো রূপান্তর।
- 2.b = Av ⇒ v = A⁻¹b।
- 3.(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; ক্রম উল্টে যায়।
- 4.det = 0 হলে ইনভার্স নেই।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।R(60°)-এর ইনভার্স?
প্রশ্ন 2।diag(4, 5)-এর ইনভার্স?
প্রশ্ন 3।(A⁻¹)⁻¹ = ?
প্রশ্ন 4।অভিক্ষেপের ইনভার্স কেন নেই?
প্রশ্ন 5।সিস্টেম: 3x − y = 7, 2x + y = 8 — Ax = b আকারে লেখো।
প্রশ্ন 6।কখন একটি লিনিয়ার সিস্টেমের অসংখ্য সমাধান থাকে?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।