৩×৩ ও n×n
3×3 and n×n Determinant
Cofactor এক্সপ্যানশন — বড় ম্যাট্রিক্সের জন্য রিকার্সিভ সূত্র
≈ ১২ মিনিট
৩×৩ থেকে শুরু করে যেকোনো n×n — সবকিছু আসলে ছোট ছোট ২×২ ডিটারমিন্যান্টে ভেঙে ফেলা যায়। এই ভাঙার নামই cofactor এক্সপ্যানশন।
Minor ও Cofactor
Aᵢⱼ-এর minor Mᵢⱼ — i-তম সারি ও j-তম কলাম বাদ দিয়ে যে ছোট ম্যাট্রিক্স থাকে তার ডিটারমিন্যান্ট। Cofactor Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ।
৩×৩ সূত্র
প্রথম সারি ধরে এক্সপ্যানশন:
A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [1, 0, 6]]
det = 1·(4·6 − 5·0) − 2·(0·6 − 5·1) + 3·(0·0 − 4·1)
= 1·24 − 2·(−5) + 3·(−4) = 24 + 10 − 12 = ২২।
Sarrus-এর নিয়ম (শুধু ৩×৩)
প্রথম দুই কলাম পাশে কপি করো; তিনটি ডান-নিচ কর্ণের গুণফল যোগ, তিনটি ডান-উপর কর্ণের গুণফল বিয়োগ। দ্রুত হিসাবের জন্য সুবিধাজনক।
উদাহরণ: A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]]। দুই কলাম পাশে কপি করি:
ডান-নিচ তিন কর্ণ (যোগ): 1·5·10 + 2·6·7 + 3·4·8 = 50 + 84 + 96 = 230।
ডান-উপর তিন কর্ণ (বিয়োগ): 3·5·7 + 1·6·8 + 2·4·10 = 105 + 48 + 80 = 233।
det = 230 − 233 = −3। (cofactor সম্প্রসারণেও একই উত্তর পাওয়া যায়।)
n×n — যেকোনো সারি/কলাম ধরে
ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স
Upper বা lower triangular হলে — det = কর্ণের গুণফল। বড় ম্যাট্রিক্সের জন্য সবচেয়ে দ্রুত পথ।
মূল ভাবনা
- 1.Cofactor Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ।
- 2.যেকোনো সারি/কলাম বরাবর এক্সপ্যানশন সম্ভব।
- 3.শূন্য বেশি যে সারিতে — সেটি বেছে নাও।
- 4.Triangular ম্যাট্রিক্সে det = কর্ণের গুণফল।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।[[2, 0, 0], [3, 4, 0], [5, 6, 7]] det?
প্রশ্ন 2।C₂₃-এর চিহ্ন?
প্রশ্ন 3।Identity 3×3 det?
প্রশ্ন 4।৩×৩ এক্সপ্যানশনে কয়টি ২×২ det হিসাব করতে হয়?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।