২×২ ডিটারমিন্যান্ট
2×2 Determinant
ad − bc — সূত্রের পিছনের ছবি
≈ ৮ মিনিট
ছোটবেলায় শেখা ad − bc — কিন্তু এই বিয়োগ কেন? সমান্তরাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি দেখলে রহস্য ভেঙে যায়।
সূত্র
কলামগুলো: a₁ = [a, c]ᵀ, a₂ = [b, d]ᵀ। এদের দ্বারা তৈরি সমান্তরাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল হলো |ad − bc|।
জ্যামিতিক প্রমাণ
চারপাশের a+b চওড়া, c+d লম্বা বড় আয়তক্ষেত্র থেকে — চারটি ত্রিভুজ ও দুটি ছোট আয়তক্ষেত্র বাদ দাও। বাকি থাকে ad − bc।
উদাহরণ
A = [[3, 1], [2, 4]]
det = 3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10।
A = [[2, 4], [1, 2]]
det = 2·2 − 4·1 = 0
দুই কলাম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
চিহ্ন ও কলাম-অদলবদল
দুটি কলাম (বা সারি) অদলবদল করলে det-এর চিহ্ন উল্টে যায়। উদাহরণ: A = [[3, 1], [2, 4]]-এ det = 10; কলাম দুটি অদলবদল করে A′ = [[1, 3], [4, 2]] পেলে det = 1·2 − 3·4 = −10। জ্যামিতিকভাবে — কলাম-ক্রম বদলালে চতুর্ভুজের "দিক" (orientation) উল্টে যায়, তাই signed area-র চিহ্নও বদলায়।
২×২ ইনভার্সে কেন দরকার
det = 0 হলে ১/০ — অসম্ভব। তাই det ≠ 0 ⇔ ইনভার্স আছে।
মূল ভাবনা
- 1.det = ad − bc; চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল।
- 2.শূন্য হলে কলাম নির্ভরশীল।
- 3.ইনভার্সের সূত্রে det ভাজক।
- 4.চিহ্ন কলামের ক্রম বদলালে উল্টে যায়।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।[[1, 2], [3, 4]] det?
প্রশ্ন 2।[[a, b], [a, b]] det?
প্রশ্ন 3।det উল্টে যায় কখন?
প্রশ্ন 4।[[5, 0], [0, 7]] det?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।