রূপান্তরের সংমিশ্রণ
Composition of Transformations
একের পর এক প্রয়োগ — ম্যাট্রিক্স গুণের আসল মানে
≈ ১২ মিনিট
একটি ভেক্টরকে প্রথমে ঘোরাও, তারপর টানো, তারপর প্রতিফলিত করো — তিনটি ভিন্ন ক্রিয়া। অথচ এই তিনটি একসাথে আবার একটি লিনিয়ার রূপান্তর। কীভাবে? — গুণফল ম্যাট্রিক্সে। ম্যাট্রিক্স গুণের ‘অদ্ভুত’ নিয়মের পেছনে এটিই সত্য কারণ।
সংমিশ্রণের সংজ্ঞা
T₁ ও T₂ যদি দুটি লিনিয়ার রূপান্তর হয় — প্রথমে T₁, তারপর T₂ প্রয়োগ করলে নতুন রূপান্তর (T₂ ∘ T₁)।
ম্যাট্রিক্সে — যদি T₁ = A এবং T₂ = B, তবে সংমিশ্রণ ম্যাট্রিক্স হলো গুণফল BA।
উদাহরণ
R(90°) = [[0, −1], [1, 0]]
S = [[2, 0], [0, 1]]
সংমিশ্রণ = S · R = [[0, −2], [1, 0]]
v = [1, 0]ᵀ → R(v) = [0, 1]ᵀ → S(R(v)) = [0, 1]ᵀ।
প্রথমে S, তারপর R
R · S = [[0, −1], [2, 0]] — সম্পূর্ণ ভিন্ন ম্যাট্রিক্স।
v = [1, 0]ᵀ → S(v) = [2, 0]ᵀ → R(S(v)) = [0, 2]ᵀ।
সংমিশ্রণের ধর্ম
- সাহচর্য (associative): (CB)A = C(BA)। ক্রম ঠিক থাকলে ব্রাকেট যেখানে খুশি।
- বিনিময়শীল নয়: AB ≠ BA সাধারণত।
- Identity: I · A = A · I = A — কিছু না করার রূপান্তর।
- নির্ণায়ক গুণফল: det(BA) = det(B) · det(A)।
যেকোনো রূপান্তর = মৌলিক ক্রিয়ার সংমিশ্রণ
যেকোনো 2×2 লিনিয়ার রূপান্তরকে — ঘূর্ণন, স্কেলিং, ঘূর্ণন — এই তিন ধাপে ভাঙা যায়। এটি SVD (Singular Value Decomposition) উপপাদ্যের সরল রূপ। মানে — সব জটিল রূপান্তর আসলে এই কয়েকটি সরল ক্রিয়ার নাচ।
বিপরীত সংমিশ্রণ
প্রথমে A, তারপর B। উল্টে যেতে চাইলে — প্রথমে B-এর বিপরীত, তারপর A-এর বিপরীত।
মূল ভাবনা
- 1.সংমিশ্রণ ↔ ম্যাট্রিক্স গুণ।
- 2.প্রথমে A, তারপর B — গুণফল BA (ডান থেকে বামে)।
- 3.AB ≠ BA সাধারণত; কিন্তু সাহচর্যপূর্ণ।
- 4.(BA)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹, det(BA) = det(B)·det(A)।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।প্রথমে R(90°), তারপর Mₓ — লিখো ম্যাট্রিক্স ক্রম।
প্রশ্ন 2।AB = I হলে B কী?
প্রশ্ন 3।det(A) = 2, det(B) = −3 হলে det(AB)?
প্রশ্ন 4।R(α) ও R(β) — এদের গুণফল কি বিনিময়শীল?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।