অভিক্ষেপ
Projection
একটি অক্ষের উপর ছায়া — মাত্রা কমানোর শিল্প
≈ ১২ মিনিট
একটি ভেক্টরের উপর সূর্যের আলো ফেললে যে ছায়া পড়ে — সেটিই অভিক্ষেপ। কিছু তথ্য চিরতরে হারায়, কিছু থেকে যায়। মেশিন লার্নিংয়ের PCA, least-squares regression, কম্পিউটার ভিশনের সব নিয়ম-কানুন — এই এক ধারণার উপর দাঁড়িয়ে।
x-অক্ষের উপর অভিক্ষেপ
v = [x, y]ᵀ-এর x-অক্ষের উপর ছায়া হবে [x, 0]ᵀ। ম্যাট্রিক্স —
y-এর সব তথ্য চিরতরে চলে গেল। এটিই অভিক্ষেপের ‘ক্ষতি’।
সাধারণ ভেক্টরের উপর অভিক্ষেপ
যেকোনো (শূন্য নয়) ভেক্টর u-এর উপর v-এর অভিক্ষেপ:
এখানে (u·v / u·u) হলো scalar — "v u-এর দিকে কতটুকু" — এবং সেই scalar-কে u দিয়ে গুণ করলে অভিক্ষেপিত ভেক্টর পাওয়া যায়। u যদি একক ভেক্টর হয় (u·u = 1), সূত্রটি সরল হয়ে দাঁড়ায়:
ম্যাট্রিক্স আকারে (একক u-এর জন্য):
সাধারণ (non-unit) u-এর জন্য P = u uᵀ / (uᵀu) — যেটি Least-squares ও PCA-এর মূল formula-এর সরাসরি পূর্বসূরি।
অভিক্ষেপের ধর্ম
- P² = P — দুবার অভিক্ষেপ করলে একই ফল (idempotent)।
- Pᵀ = P — প্রতিসম (orthogonal projection-এর জন্য)।
- det P = 0 — তথ্য হারায়, বিপরীত নেই।
- Eigenvalues হলো ০ ও ১ — যা থাকে তা স্থির (λ=1), যা যায় তা শূন্য (λ=0)।
জ্যামিতিক ছবি
একটি ভেক্টর v এবং একটি রেখা L কল্পনা করো। v-এর শেষ বিন্দু থেকে L-এর উপর লম্ব নামাও — পায়ের নিচের বিন্দুটিই P(v)। বাকি অংশ v − P(v) হলো L-এর লম্ব।
একটি বড় ছবি — PCA
Principal Component Analysis-এ আমরা উচ্চ-মাত্রার ডেটাকে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কয়েকটি দিকে অভিক্ষেপ করি। ১০০ মাত্রার ছবিকে ৫০ মাত্রায় চাপিয়ে দিলেও বেশিরভাগ তথ্য থাকে — কারণ ডেটার বেশির ভাগ ‘শক্তি’ অল্প কয়েকটি দিকে কেন্দ্রীভূত।
মূল ভাবনা
- 1.অভিক্ষেপ = ছায়া; তথ্য হারায়।
- 2.P = uuᵀ একটি একক u-এর উপর; rank 1।
- 3.P² = P, det = 0, eigenvalues ০ ও ১।
- 4.Least-squares ও PCA-এর ভিত্তি।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Pₓ([4, 9]ᵀ) = ?
প্রশ্ন 2।Pₓ² = ?
প্রশ্ন 3।u = [1, 0]ᵀ হলে uuᵀ = ?
প্রশ্ন 4।অভিক্ষেপের det কেন ০?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।