প্রতিফলন

Reflection

আয়নায় উল্টে দেওয়া — অভিমুখ বদলানোর রূপান্তর

≈ ১০ মিনিট

একটি আয়নার সামনে দাঁড়াও — তোমার ডান হাত আয়নার বাম হাতে পরিণত হয়। গণিতে এটিই প্রতিফলন। দৈর্ঘ্য একই, কোণ একই — কিন্তু অভিমুখ (orientation) উল্টে যায়। এজন্যই det সবসময় −1।

অক্ষ বরাবর প্রতিফলন

x-অক্ষ বরাবর প্রতিফলন — y স্থানাঙ্কের চিহ্ন উল্টে যায়।

Mₓ = [[1, 0], [0, −1]]

y-অক্ষ বরাবর —

Mᵧ = [[−1, 0], [0, 1]]

y = x রেখা বরাবর — x ও y অদলবদল।

M = [[0, 1], [1, 0]]

সাধারণ রেখা বরাবর

x-অক্ষের সাথে θ কোণ করা একটি রেখা বরাবর প্রতিফলন —

M(θ) = [[cos2θ, sin2θ], [sin2θ, −cos2θ]]

ধর্ম

দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত — ‖Mv‖ = ‖v‖।
det M = −1 — অভিমুখ উল্টে যায়।
M² = I — দুবার প্রতিফলিত করলে আবার নিজের জায়গায়।
Mᵀ = M⁻¹ = M (অর্থোগোনাল ও স্ব-বিপরীত)।

ইগেনভ্যালু

প্রতিফলনের অক্ষ বরাবর ভেক্টর — অপরিবর্তিত (λ = +1)।
অক্ষের লম্ব ভেক্টর — উল্টে যায় (λ = −1)।
তাই eigenvalues = +1 এবং −1; det = (+1)(−1) = −1। ✓

ঘূর্ণনের সাথে সম্পর্ক

দুটি প্রতিফলনের গুণফল = একটি ঘূর্ণন। অর্থাৎ — দুইটি আয়নাকে α কোণে রাখলে, কোনো বস্তুর প্রতিচ্ছবি 2α কোণে ঘুরে যায়। কম্পিউটার গ্রাফিক্স ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে এই সত্য গভীর।

মূল ভাবনা

1.প্রতিফলন → দৈর্ঘ্য একই, অভিমুখ উল্টে।
2.det = −1, M² = I।
3.Eigenvalues হলো +1 (অক্ষ বরাবর) ও −1 (লম্ব)।
4.দুই প্রতিফলন = এক ঘূর্ণন (2× কোণ)।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।y = x রেখা বরাবর প্রতিফলনে v = [3, 5]ᵀ কোথায়?

উত্তর:[5, 3]ᵀ।

প্রশ্ন 2।Mₓ এর det?

উত্তর:1·(−1) − 0 = −1।

প্রশ্ন 3।Mₓ²= ?

উত্তর:I — দুইবার প্রতিফলিত করলে অপরিবর্তিত।

প্রশ্ন 4।Mₓ · Mᵧ = ?

উত্তর:[[−1, 0],[0,−1]] = R(180°) — দুই প্রতিফলন একসাথে = 180° ঘূর্ণন।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“প্রতিফলন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“প্রতিফলন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“প্রতিফলন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“প্রতিফলন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4