SVD দিয়ে কম্প্রেশন

Image Compression with SVD

হাতে-কলমে low-rank approximation

≈ ৯ মিনিট

একটি 1000×1000 grayscale ছবি = ১০ লক্ষ সংখ্যা। SVD-এর top 50 singular value রাখলে? প্রায় ১ লক্ষ সংখ্যা — তবু ছবি প্রায় অপরিবর্তিত। এটিই lossy compression-এর গাণিতিক ভিত্তি।

মূল ধারণা

ছবি I (m×n)। SVD: I = U Σ Vᵀ। শীর্ষ k singular value রাখো:

I_{k} = i = 1 \sum k σ_{i} u_{i} v_{i}^{T}

Eckart–Young: এটিই rank-k সবচেয়ে কাছের approximation।

সঞ্চয় হিসাব

মূল: m·n সংখ্যা।
Rank-k SVD: k(m + n + 1) সংখ্যা।
1000×1000, k=50 → 50·(2001) ≈ ১ লক্ষ vs ১০ লক্ষ — ১০× compression।
k বাড়ালে quality↑, size↑।

RGB-তে প্রয়োগ

তিনটি channel আলাদাভাবে SVD, অথবা YCbCr-এ গিয়ে chroma channel-এ বেশি compression।

Singular value spectrum

প্রাকৃতিক ছবিতে σ_i দ্রুত কমে।
প্রথম কয়েকটাই বেশিরভাগ "energy" বহন করে।
Σ σ_i²-এর কতটুকু রাখলে কত quality — পরিমাপযোগ্য।

JPEG-এর সাথে তুলনা

JPEG: 8×8 block-এ Discrete Cosine Transform — frequency domain compression।
SVD compression: পুরো ছবিতে global low-rank।
JPEG বাস্তবে ভালো (perceptual quantization), কিন্তু SVD ধারণাগতভাবে সরল।
Modern: JPEG-XL, AVIF, neural compression।

কেন matter করে

Low-rank approximation-এর ধারণা সর্বত্র।
Recommender: user-item matrix → top-k SVD।
LLM: weight matrix-এর LoRA।
Noise reduction: ছোট σ-গুলো প্রায়ই noise।

মূল ভাবনা

1.SVD-এর top-k = সেরা rank-k approximation।
2.k(m+n+1) সংখ্যায় m·n-এর কাছাকাছি।
3.প্রাকৃতিক ছবিতে σ দ্রুত decay → কাজ করে।
4.এই idea-ই LoRA, PCA, recommender-এর ভিত্তি।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।Rank-k SVD-এ কত সংখ্যা?

উত্তর:k(m + n + 1)।

প্রশ্ন 2।Eckart–Young কী বলে?

উত্তর:Top-k SVD = সেরা rank-k Frobenius approximation।

প্রশ্ন 3।JPEG কীভাবে আলাদা?

উত্তর:Block-wise DCT (frequency domain), perceptual quantization।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“SVD দিয়ে কম্প্রেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 2।“SVD দিয়ে কম্প্রেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 3।“SVD দিয়ে কম্প্রেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

প্রশ্ন 4।“SVD দিয়ে কম্প্রেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?

উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4