SVD নির্ণয় পদ্ধতি
Computing U, Σ, Vᵀ
AᵀA ও AAᵀ-এর eigendecomposition থেকে
≈ ১০ মিনিট
SVD-কে eigendecomposition-এর ভাষায় অনুবাদ করা যায়। AᵀA সবসময় সিমেট্রিক ও positive semi-definite — তাই spectral theorem প্রয়োগ করা যায়। এখান থেকেই U, Σ, V বেরিয়ে আসে।
মূল সূত্রাবলি
অর্থাৎ V হলো AᵀA-এর eigenvectors, U হলো AAᵀ-এর eigenvectors, এবং σᵢ = √λᵢ।
ধাপে ধাপে অ্যালগরিদম
- ১. AᵀA গণনা করো।
- ২. AᵀA-এর eigenvalues λᵢ ও eigenvectors বের করো — V পাও।
- ৩. σᵢ = √λᵢ — Σ পাও।
- ৪. uᵢ = (1/σᵢ) A vᵢ — U-এর কলাম পাও।
- ৫. σᵢ = 0 হলে uᵢ আলাদাভাবে orthonormal করে পূরণ করো।
ছোট উদাহরণ
A = [[3, 0], [4, 5]] হলে:
- AᵀA = [[25, 20], [20, 25]] → λ = 45, 5 → σ = √45, √5।
- V = এই λ-গুলোর eigenvectors।
- U = (1/σᵢ) A vᵢ।
Reduced (thin) SVD
rank r হলে শুধু প্রথম r কলাম রাখলেই A = UᵣΣᵣVᵣᵀ — গণনা ও স্টোরেজে সাশ্রয়।
ধাপ ১: AᵀA = [[3,4],[0,5]]·[[3,0],[4,5]] = [[25, 20], [20, 25]]।
ধাপ ২: det(AᵀA − λI) = (25-λ)² − 400 = 0 → λ = 45, 5।
ধাপ ৩: σ₁ = √45 = 3√5, σ₂ = √5।
ধাপ ৪: λ=45 → v₁ ∝ (1, 1)/√2; λ=5 → v₂ ∝ (1, -1)/√2 → V = (1/√2)[[1,1],[1,-1]]।
ধাপ ৫: u₁ = Av₁/σ₁ = (1/√2)(3, 9)/(3√5) = (1, 3)/√10; u₂ = Av₂/σ₂ = (1/√2)(3, -1)/√5 = (3, -1)/√10।
যাচাই: U orthonormal, A = UΣVᵀ মেলে।
মূল ভাবনা
- 1.V = AᵀA-এর eigenvectors।
- 2.U = AAᵀ-এর eigenvectors।
- 3.σᵢ = √λᵢ।
- 4.uᵢ = Avᵢ / σᵢ।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।V কোথা থেকে আসে?
প্রশ্ন 2।σ ও λ-এর সম্পর্ক?
প্রশ্ন 3।uᵢ কীভাবে?
প্রশ্ন 4।যদি A সিমেট্রিক ও positive semi-definite হয়, SVD কী হয়?
প্রশ্ন 5।Thin SVD vs full SVD পার্থক্য?
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।