← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 13.2
জ্যামিতিক দৃষ্টি
Geometric View of SVD
ঘূর্ণন → স্কেল → ঘূর্ণন
≈ ৭ মিনিট
একটি unit বৃত্তের কথা ভাবুন। যেকোনো ম্যাট্রিক্স A দিয়ে গুণ করলে সেটি একটি ellipse-এ রূপান্তরিত হয়। SVD সেই ellipse-এর অক্ষগুলোই খুঁজে দেয় — কতটা ঘোরাও, কোন দিকে কতটা টানো।
তিন ধাপের গল্প
- Vᵀ — input space-এ ঘূর্ণন (orthonormal basis নির্বাচন)।
- Σ — সেই অক্ষ বরাবর σᵢ গুণে scaling।
- U — output space-এ ঘূর্ণন (নতুন basis-এ বসানো)।
অর্থাৎ V-এর i-তম কলামকে A রূপান্তর করলে পাই σᵢ গুণ U-এর i-তম কলাম।
Ellipse-এর সাদৃশ্য
- Unit বৃত্ত → ellipse।
- Ellipse-এর semi-axis দৈর্ঘ্য = σ₁, σ₂, …।
- Semi-axis-এর দিক = U-এর কলাম।
- কোন input দিক সবচেয়ে বেশি stretched হলো = v₁।
Operator norm
A-এর সর্ববৃহৎ singular value = এর spectral norm।
উদাহরণ
Unit বৃত্ত → ellipse: একটি ছবি
A = [[3, 0], [0, 2]] — সরল diagonal।
SVD: U = I, Σ = diag(3, 2), V = I।
Unit বৃত্ত x² + y² = 1-এর প্রতিটি বিন্দু (cos θ, sin θ) → A·(cos θ, sin θ) = (3cos θ, 2sin θ)।
এই বিন্দুরা ellipse (x/3)² + (y/2)² = 1 তৈরি করে।
Semi-axes: 3 (x-অক্ষে), 2 (y-অক্ষে) — ঠিক σ₁, σ₂।
‖A‖₂ = σ₁ = 3 = সর্বোচ্চ stretch।
মূল ভাবনা
- 1.A = rotate → scale → rotate।
- 2.Av_i = σ_i u_i।
- 3.σ_i = ellipse-এর semi-axis দৈর্ঘ্য।
- 4.‖A‖₂ = σ₁।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Unit বৃত্ত A দিয়ে গুণ করলে কী হয়?
উত্তর:Ellipse, যার semi-axis = σᵢ।
প্রশ্ন 2।σ₁ কী বোঝায়?
উত্তর:সর্বোচ্চ stretch factor; operator norm।
প্রশ্ন 3।Av₂ = ?
উত্তর:σ₂ u₂।
প্রশ্ন 4।A = [[0, 2], [3, 0]]-এর σ?
উত্তর:AᵀA = [[9, 0], [0, 4]] → λ = 9, 4 → σ = 3, 2।
প্রশ্ন 5।একটি ম্যাট্রিক্সের সর্বনিম্ন singular value শূন্য হলে এর জ্যামিতিক অর্থ?
উত্তর:ম্যাট্রিক্স singular — কিছু দিক বরাবর স্পেস ‘চুপসে’ যায় (rank-এর ঘাটতি)।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“জ্যামিতিক দৃষ্টি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“জ্যামিতিক দৃষ্টি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“জ্যামিতিক দৃষ্টি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“জ্যামিতিক দৃষ্টি” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4