জর্ডান রূপ

সমস্যা

Eigenvalue 2 দুবার, eigenvector মাত্র একটি — defective।

Jordan block

Jordan Normal Form

যেকোনো square matrix এভাবে decompose হয়। Diagonalizable হলে সব block size 1।

Generalized eigenvector

Jordan block-এর জন্য আমরা একটি "chain" তৈরি করি: প্রথম ভেক্টর সত্যিকার eigenvector, পরের প্রতিটি আগেরটিকে (A − λI)-এর preimage হিসেবে দেয়:

ফলস্বরূপ (A − λI)^k v_k = 0 — অর্থাৎ v_k হলো generalized eigenvector of rank k, এবং পুরো chain {v_1, …, v_k} একটি k × k Jordan block তৈরি করে।

ব্যবহার

• Matrix exponential e^{At} — closed form।
• Linear ODE সমাধান।
• Control theory — stability।
• Structural theorem-এর ভিত্তি।

সীমাবদ্ধতা

• Numerically unstable।
• Practice-এ Schur decomposition বেশি ব্যবহৃত।
• ML-এ সরাসরি কম, RNN dynamics বুঝতে কাজে লাগে।