মা
মাত্রা
← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 12.R

পর্ব 12 পুনরালোচনা — আইগেনভেক্টর ও ডায়াগোনালাইজেশন

Part 12 Review — আইগেনভেক্টর ও ডায়াগোনালাইজেশন

সারসংক্ষেপ + ১০টি মিশ্র সমস্যা

≈ ১৫ মিনিট

পুরো পর্বের মূল বার্তা এক জায়গায় — তারপর হাত মকশো করার ১০টি সমস্যা।

মূল ধারণাগুলো এক নজরে

  • Eigenvector: (A − λI)v = 0।
  • n linearly independent eigenvector থাকলে A = PDP⁻¹।
  • Aⁿ = PDⁿP⁻¹ — দ্রুত গণনা।
  • Spectral theorem: symmetric A = QΛQᵀ, Q orthogonal।
  • Eigen-basis-এ A সরল diagonal।

সমন্বিত worked example

উদাহরণ
সমন্বিত উদাহরণ — diagonalization

A = [[4,1],[2,3]], λ = 5, 2।

λ=5: (A−5I)v = 0 ⇒ v₁ = [1,1]।

λ=2: (A−2I)v = 0 ⇒ v₂ = [1,−2]।

P = [[1,1],[1,−2]], D = diag(5,2); A = P D P⁻¹।

A¹⁰ = P · diag(5¹⁰, 2¹⁰) · P⁻¹ — সরাসরি গণনার বিকল্প।

মূল ভাবনা

  • 1.Eigenvector: (A − λI)v = 0।
  • 2.n linearly independent eigenvector থাকলে A = PDP⁻¹।
  • 3.Aⁿ = PDⁿP⁻¹ — দ্রুত গণনা।
  • 4.Spectral theorem: symmetric A = QΛQᵀ, Q orthogonal।
  • 5.Eigen-basis-এ A সরল diagonal।

নিজেকে যাচাই করো

প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রশ্ন 1।A = PDP⁻¹-এ D কী?
উত্তর:Eigenvalue diagonal।
প্রশ্ন 2।P-এর কলাম কী?
উত্তর:Eigenvectors।
প্রশ্ন 3।Aⁿ = ?
উত্তর:P Dⁿ P⁻¹।
প্রশ্ন 4।Symmetric A-তে P?
উত্তর:Orthogonal Q (P⁻¹ = Qᵀ)।
প্রশ্ন 5।Diagonalize কখন সম্ভব?
উত্তর:n স্বাধীন eigenvector থাকলে।
প্রশ্ন 6।[[2,0],[0,3]]-এর D?
উত্তর:নিজেই।
প্রশ্ন 7।Defective ম্যাট্রিক্স?
উত্তর:Diagonalize হয় না (Jordan লাগে)।
প্রশ্ন 8।eᴬ গণনা সহজ যখন?
উত্তর:Diagonalizable।
প্রশ্ন 9।Symmetric ম্যাট্রিক্সের eigenvectors?
উত্তর:Orthogonal।
প্রশ্ন 10।Spectral theorem বলে?
উত্তর:Symmetric ⇒ orthogonally diagonalizable।

ইন্টারেক্টিভ কুইজ

মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।

প্রশ্ন 1।“পর্ব 12 পুনরালোচনা — আইগেনভেক্টর ও ডায়াগোনালাইজেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“পর্ব 12 পুনরালোচনা — আইগেনভেক্টর ও ডায়াগোনালাইজেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“পর্ব 12 পুনরালোচনা — আইগেনভেক্টর ও ডায়াগোনালাইজেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“পর্ব 12 পুনরালোচনা — আইগেনভেক্টর ও ডায়াগোনালাইজেশন” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4